Question

【题目】如图所示，在倾角θ=30°的斜面上固定两根足够长的光滑平行金属导轨PQ、MN，相距为L，导轨处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直导轨平面向下。两根质量均为m的金属棒a、b分别垂直放置在导轨上EF、GH位置，其中a 棒用平行于导轨的细线跨过光滑定滑轮与重物c 连接。已知EF上方导轨的电阻与到EF的距离x有关，EF下方的导轨没有电阻。现在由静止释放a、b、c，a、c一起以加速度做匀加速运动，b棒刚好仍静止在导轨上。a棒在运动过程中始终与导轨垂直，a、b棒电阻不计，与导轨电接触良好。

（1）求重物c的质量；

（2）求EF上方每根导轨的电阻与到EF的距离x之间的关系；

（3）某时刻t，与a棒连接的细线突然被拉断，求细线被拉断的瞬间a 棒的加速度大小；

（4）在第（3）问中，假设细线被拉断的瞬间，a、b棒的重力突然消失。求从释放a、b、c 到a、b棒的速度稳定过程中，a棒克服安培力做的功。

Answer 1

【答案】（1）3m（2）r=（3）g（4）mg2t2

【解析】

（1）设重物c 的质量为M．对a棒，由牛顿定律得

T﹣mgsinθ﹣BIL=ma ①

对重物c，由牛顿定律得

Mg﹣T=Ma ②

对b棒，由平衡条件得

BIL=mgsinθ ③

由①②③式解得

M=3m；

（2）对a、b棒构成的回路，由闭合电路欧姆定律得

BLat=2rI ④

对a棒由运动学公式得

⑤

由 ③、④、⑤式解得

（3）细线被拉断的瞬间，a 棒受安培力不变，对a 棒由牛顿定律得

ma′=mgsinθ+BIL ⑥

由③、⑥式解得：

a′=g；

（4）细线被拉断后，在安培力作用下，b棒向上做加速运动，a棒向上做减速运动，a棒和b棒上的电流大小总是相等，安培力大小总是相等，加速度大小总是相等，所以相等时间内速度变化量大小相等，直至a、b棒构成回路的磁通量不变化，即a、b棒构成回路的面积不变化，即二者以共同速度做匀速直线运动为止．共同速度满足

v同=vb=△v

且

v同=va=at﹣△v ⑦

解得

⑧

从释放a、b、c 到细线刚被拉断的过程中，a 棒克服安培力做的功：

⑨

从细线刚被拉断到a、b 棒的速度稳定（即二者以共同速度匀速直线运动）的过程中，对a 棒由动能定理可得a 棒克服安培力做的功

⑩

由 ③、⑧、⑨、⑩式解得