Question

如图所示，在x轴下方的区域内存在方向与y轴相同的匀强电场，电场强度为E．在x轴上方以原点O为圆心、半径为R的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于xy平面并指向纸面外，磁感应强度为B．y轴下方的A点与O点的距离为d．一质量为m、电荷量为q的带正电粒子从A点由静止释放，经电场加速后从O点射入磁场．不计粒子的重力作用．
（1）求粒子在磁场中运动的轨道半径r．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀．求E₀．
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的

2

3

，求粒子经过x轴时的位置．

Answer 1

（1）粒子在电场中加速，由动能定理得qEd=

1

2

mv2  ①
粒子进入磁场后做圆周运动，有qvB=m

v2

r

  ②
解得粒子在磁场中运动的半径  r=

2mqEd

qB

 ③
（2）要使粒子之后恰好不再经过x轴，则离开磁场时的速度方向与x轴平行，运动情况如图①，由几何知识可得  R=

2

r    ④
由以上各式解得  E0=

qB2R2

4md

  ⑤
（3）将E=

2

3

E0代入可得磁场中运动的轨道半径 r=

R

3

  ⑥
粒子运动情况如图②，图中的角度α、β满足  cosα=

R 2

r

=

3

2

   即α=30°   ⑦
则得  β=2α=60°             ⑧
所以  粒子经过x轴时的位置坐标为x=r+

r

cosβ

  ⑨
解得x=

3

R  ⑩
答：
（1）粒子在磁场中运动的轨道半径r为

2mqEd

qB

．
（2）要使粒子进入磁场之后不再经过x轴，电场强度需大于或等于某个值E₀．E₀为

qB2R2

4md

．
（3）若电场强度E等于第（2）问E₀的

2

3

，粒子经过x轴时的位置为x=

3

R．