Question

16．如图所示，ABC、DEF为同一竖直平面内的两条固定光滑轨道，其中ABC的末端水平，DEF为直径竖直方向的半圆形轨道（r=0.5m）．一质量m=1kg的滑块（可视为质点）从轨道ABC上的A点由静止释放，若滑块经C点后恰能沿轨道DEF做圆周运动，g取10m/s²，求：
（1）滑块释放点A距C点的竖直高度H；
（2）滑块到达轨道DEF的最低点F时对轨道的压力大小F_N；
（3）若轨道DEF的最低点与水平传送带的左端平滑相切，水平传送带长L=5m，以速度v₀=3m/s沿顺时针方向匀速运行，滑块与传送带间的滑动摩擦因数μ=0.2，求滑块在传动带上运动过程中系统产生的内能．

Answer 1

分析 （1）滑块经C点后恰能沿轨道DEF做圆周运动，在C点，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出滑块经过C点的速度，根据动能定理得出H．
（2）滑块由D至F得过程中只有重力做功，由动能定理求出小球到达F点的速度，通过牛顿第二定律和第三定律求出小球到达F点时对轨道的压力．
（3）根据牛顿第二定律和运动学公式求出滑块与传送带间相对位移，再求产生的内能．

解答 解：（1）设滑块经C处后恰能沿轨道DEF做圆周运动的速度为v_c，C、D为同一位置，在D点小球的重力提供向心力，则：
 $mg=\frac{mv_c^2}{r}$…①
滑块从轨道ABC上的A点由静止释放的过程中，受到重力、支持力，支持力不做功，由动能定理得：
  $mgH=\frac{1}{2}mv_c^2$…②
联立①②两式代入数据得：H=0.25m…③
（2）滑块由D至F得过程中只有重力做功，由动能定理得：
  $mg•2r=\frac{1}{2}mv_F^2-\frac{1}{2}mv_c^2$…④
在F点由牛顿第二定律得：F_N′-mg=m$\frac{{v}_{F}^{2}}{r}$…⑤
有牛顿第三定律知滑块到达F点时对轨道的压力大小：${F_N}=F_N^$′，…⑥
联立①④⑤⑥代入数据得：F_N=60N
（3）由①④得v_F=5m/s＞v₀，故滑块在传送带上开始做匀减速直线运动，加速度为a，得：$a=\frac{f}{m}=\frac{μmg}{m}=μg$
经时间t与传送带速度大小相等：$t=\frac{{{v_0}-{v_F}}}{a}$
滑块运行的位移x为：x=$\frac{{v}_{F}+{v}_{0}}{2}t$
解得 x=4m＜L
在此过程中，传送带的位移x，为：x′=v₀t
可得 x′=3m
因此，这个过程中产生的内能Q为：Q=f•△x=μmg（x-x′）
代入数据得：Q=2J
答：（1）滑块释放点A距C点的竖直高度H是0.25m；
（2）滑块到达轨道DEF的最低点F时对轨道的压力大小F_N是60N；
（3）滑块在传动带上运动过程中系统产生的内能是2J．

点评 本题的关键是要搞清滑块的运动情况，把握每个过程和状态所遵守的物理规律，要知道摩擦产生的内能与相对位移有关．