Question

1．如图所示，在xoy平面内，第二象限有一磁感应强度大小为B、方向垂直xoy平面向外的匀强磁场，磁场的右边界为y轴，左边界如图虚曲线所示，设左边界方程为y（x），有一簇质量为m、带电荷量为+q的带电微粒从P点以相同的速率v=$\frac{Bqa}{m}$沿斜向右上方的各个方向射出（即与x轴正方向的夹角为θ，0°＜θ＜90°），P点坐标为（-a，0）．其中有带电微粒1从坐标为（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a，a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$）Q点进入磁场．
（不计带电微粒间的相互作用及重力）则：
（1）微粒1第一次经过y轴时速度方向及坐标；
（2）微粒2出射角θ₂=30°，要使微粒2第一次经过y轴时速度方向与微粒1第一次经过y轴时速度方向一致，求微粒2进入磁场时的坐标应为多少；
（3）要使所有带电微粒第一经过y轴时，速度方向一致，求磁场左边界方程y（x）．

Answer 1

分析 （1）利用洛伦兹力提供向心力结合几何关系即可求出粒子半径大小；再利用几何关系，即可求出微粒1第一次经过y轴时速度方向及坐标；
（2）根据数学几何关系，即可求出使微粒2第一次经过y轴时速度方向与微粒1第一次经过y轴时速度方向一致的微粒2进入磁场时的坐标；
（3）利用几何关系，即可求出要使所有带电微粒第一经过y轴时，速度方向一致，磁场左边界方程y（x）．

解答 解：（1）微粒1从P到Q做匀速直线运动，根据几何关系可知此时粒子出射的角度为θ₁=45°，
微粒1进入磁场后做匀速圆周运动，运动轨迹如图所示

根据洛伦兹力提供向心力：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ①
又因为：v=$\frac{Bqa}{m}$②
联立①②式可得：r=a
由几何关系可知圆轨迹的圆心在y轴上如图所示，则微粒1经过y轴时速度方向沿x轴正方向与y轴垂直
根据几何关系可得纵坐标：y=（r-$\frac{\sqrt{2}}{2}$r）+（$a-\frac{\sqrt{2}}{2}a$）=（2-$\sqrt{2}$）a
所以坐标为：（0，2a-$\sqrt{2}$a）
（2）微粒2出射角θ₂=30°，轨迹如图，则进入磁场的入射点坐标为（x₂，y₂） 

根据几何关系可得：x₂=-asinθ₂ ③
y₂=（a+x₂）tanθ₂ ④
联立③④式得：x₂=-$\frac{a}{2}$；y₂=$\frac{\sqrt{3}a}{6}$．
所以坐标为（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{6}$）
（3）微粒出射角为θ，则轨迹如图所示，

根据几何关系可得：tanθ=$\frac{-x}{\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}}$ ⑤
tanθ=$\frac{y}{a+x}$ ⑥
联立⑤⑥式得：y=$\frac{-x\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}$
答：（1）微粒1第一次经过y轴时速度方向沿x轴正方向与y轴垂直，坐标为（0，2a-$\sqrt{2}$a）；
（2）微粒2进入磁场时的坐标应为（-$\frac{a}{2}$，$\frac{\sqrt{3}a}{6}$）；
（3）磁场左边界方程为y=$\frac{-x\sqrt{a+x}}{\sqrt{a-x}}$．

点评 本题考查带电粒子在有界匀强磁场中的运动，解题关键是要牢记磁场问题的解题思路，即：运用洛伦兹力提供向心力结合几何关系，对数学平面几何能力要求较高．