Question

6．如图所示，A、B、C是同一半径为R的竖直圆周上的三个点，C为最低点，AC、BC为两条分别与水平方向成α、β角的光滑导轨．则物体从A、B点滑到C点所经历的时间之比为1：1，到达C点时的速率之比为$\frac{sinα}{sinβ}$．

Answer 1

分析 根据圆的几何知识，可以求得AC和BC的长度，由牛顿第二定律可以求得物体运动的加速度的大小，再由匀变速直线运动的规律可以求得物体运动的时间和速度的大小．

解答 解：当物体沿AC轨道运动时，对物体受力分析可知，物体在AC轨道上的合力的大小为mgsinα=ma，所以物体的加速度大小为a=gsinα，设圆的半径为R，由圆的几何关系可知，AC的长度为2Rsinα，由x=at²可得物体由A运动到C得时间为t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，同理可得，沿BC运动时，加速度的大小为gsinθ，BC的长度为2Rsinθ，物体由B运动到C得时间t=$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，所以物体分别从A、B点滑到C点所经历的时间之比1：1；
由速度公式v=at可得，沿AC运动时，物体的速度的大小为V_A=gsinα$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，沿BC运动时，物体的速度的大小为V_B=gsinβ$\sqrt{\frac{4R}{g}}$，所以A、B点到达C点时的速率之比为$\frac{sinα}{sinβ}$．
故答案为：1：1；$\frac{sinα}{sinβ}$

点评 本题考查了牛顿第二定律和匀变速直线运动的规律，对物体受力分析，确定物体的运动的状态，在根据匀变速直线运动的规律来求解即可．