Question

如图所示，矩形区域MNPQ内有水平向右的匀强电场，虚线框外为真空区域，半径为R，内壁光滑，内径很小的绝缘半圆管ADB固定在竖直平面内，直径AB垂直于水平虚线MN，圆心O恰好在MN的中点，半圆管的一半处于电场中，一质量为m，可视为质点的带正电，电荷量为q的小球从半圆管的A点由静止开始滑入管内，小球从B点穿过后，能够通过B点正下方的C点，重力加速度为g，小球在C点处的加速度大小为

5

3

g．求：
（1）带匀强电场场强E；
（2）小球在到达B点前一瞬间时，半圆轨道对它的作用力的大小；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件？

Answer 1

分析：（1）由题，小球在C点处的加速度大小为

5

3

g，根据牛顿第二定律求解电场强度．
（2）研究小球从A→B过程，根据动能定理求出小球经过B点时的速度大小，小球到达B点时由重力和轨道的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解轨道对它的作用力的大小；
（3）小球从B→C过程采用运动的分解法研究：水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动．根据牛顿第二定律和运动学公式求出小球水平向左运动的最大距离和竖直方向运动的距离，由几何关系确定虚线框MNPQ的高度和宽度满足什么条件．

解答：解：（1）小球在C处受水平向右的电场力F和竖直方向的重力mg，由题，加速度为

5

3

g
则由

(Eq)2+m2g2

=m(

5

3

g)
解得  E=

4mg

3q

（2）小球从A→B过程，根据动能定理得：
   mg?2R-qER=

1

2

m

v

2 B

解得：vB=

4 3 gR

根据牛顿第二定律得：
   N-mg=m

v 2 B

R

代入解得：N=

7

3

mg
（3）小球从B→C水平方向做匀减速直线运动，竖直方向做自由落体运动
    水平方向：a_x=

qE

m

=

4

3

g  
    竖直方向：a_y=g
设向左减速时间为t，则有t=

vB

ax

=

3R 4g

  x=

1

2

v_Bt=

R

2

  y=

1

2

g（2t）²=

3R

2

虚线框MNPQ的宽度应满足条件L＞2R，高度应满足条件H＞R+

3R

2

=

5R

2

．
答：
（1）带匀强电场场强E=

4mg

3q

；
（2）小球在到达B点前一瞬间时，半圆轨道对它的作用力的大小为N=

7

3

mg；
（3）要使小球能够到达B点正下方C点，虚线框MNPQ的宽度应满足条件L＞2R，高度应满足条件H＞

5R

2

．

点评：本题采用程序法进行处理，难点是小球从B→C过程，由于小球受的是恒力，采用分解法研究．