Question

8．如图所示，竖直平面内的光滑倾斜轨道AB、水平轨道CD与半径r=0.5m的光滑圆弧轨道分别相切于B、C点，AB与水平面的夹角为37°，过B点垂直于纸面的竖直平面左侧有匀强磁场，磁感应强度B=1T、方向垂直于纸面向里；过C点垂直于纸面的竖直平面右侧有电场强度E=1×10⁴N/C、方向水平向右的匀强电场（图中未画出）．现将小物块P从倾斜轨道上A点由静止释放沿AB向下运动，运动过程中电荷量保持不变，不计空气阻力．已知物块P的质量m=0.5kg、电荷量q=+2.5×10^-4C，P与水平轨道间的动摩擦因数为0.2，A、B两点间距离x=1m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8．求：
（1）P下滑到B点的速度；
（2）P运动到C点时对圆轨道的压力；
（3）P与水平面间因摩擦而产生的热量．

Answer 1

分析 （1）小物体从A到B过程，重力和电场力做功，根据动能定理求解．
（2）小物体从B到C过程，运用动能定理求出物体通过C点的速度．在C点，由重力、洛伦兹力和轨道支持力的合力提供向心力，由牛顿第二定律求出轨道的支持力，由牛顿第三定律得物体对轨道的压力．
（3）物体在水平轨道上做减速运动直到停止，动能转化为内能，根据能量守恒求热量．

解答 解：（1）小物体从A到B过程，根据动能定理得：
  $mgxsin{37°}-qExcos{37°}=\frac{1}{2}mv_B^2-0$
代入数据解得 v_B=2m/s     
（2）小物体从B到C过程，根据动能定理得：
 $mgr（1-cos{37°}）-qErsin{37°}=\frac{1}{2}mv_C^2-\frac{1}{2}mv_B^2$
代入数据解得 ${v_C}=\sqrt{3}$m/s         
小物体刚到C点，由牛顿第二定律有
 F_N-mg-qv_CB=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$                       
解得 F_N=（8+2.5$\sqrt{3}$×10^-4）N．
由牛顿第三定律，对C点的压力大小为 F_N′=F_N=（8+2.5$\sqrt{3}$×10^-4） N，方向竖直向下．
（3）小物体从A到C过程，根据能量守恒得
  Q=$\frac{1}{2}$m$v_c^2$=0.75J                           
答：
（1）P下滑到B点的速度为2m/s；
（2）P运动到C点时对圆轨道的压力大小为（8+2.5$\sqrt{3}$×10^-4） N，方向竖直向下；
（3）P与水平面间因摩擦而产生的热量为0.75J．

点评 解答该题的关键是对物体运动进行分段分析，分析清晰受力情况和运动规律，利用动能定理、牛顿第二定律和能量的转化与守恒定律进行解答．这是一个复合场的问题，要注意洛伦兹力不做功．