Question

19．为了研究过山车的原理，某物理兴趣小组提出了以下设想：取一个与水平方向夹角为θ=53°倾斜轨道AB，通过微小圆弧与水平轨道BC相连，其中L_AB=L_BC=3m，然后在C处设计一个竖直完整的光滑圆轨道，出口为水平轨道CD，如图所示．现将一个质量为m的物块（可视为质点）从距A点高为h=0.8m的水平台面上以一定的初速度v₀水平弹出，到A点时速度方向恰沿AB方向，并沿倾斜轨道滑下．已知物块与AB和BC间的动摩擦因数均为μ=0.25，g=10m/s²，求：
（1）物块初速度v₀的大小；
（2）物块滑过C点时的速率v_C；
（3）要使物块不离开圆轨道，则竖直圆轨道的半径R应该满足什么条件？

Answer 1

分析 （1）根据平抛运动规律由高度求得竖直分速度，然后由末速度的方向求得初速度；
（2）对物块从A到C的运动过程应用动能定理即可求解；
（3）根据物块不脱离轨道得到物块在圆轨道上的运动情况，然后由机械能守恒求解．

解答 解：（1）物块从平台到A的过程做平抛运动，故物块在A处的竖直分速度为：
${v}_{y}=\sqrt{2gh}=4m/s$；
所以，物块初速度为：${v}_{0}=\frac{{v}_{y}}{tan53°}=3m/s$
物块在A处的速度为：${v}_{A}=\frac{{v}_{y}}{sin53°}=5m/s$；
（2）物块从A到C的运动过程只有重力、摩擦力做功，故由动能定理可得：
mgL_ABsin53°-μmgcos53°•L_AB-μmgL_BC=$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$；
解得：${v}_{C}=\sqrt{{{v}_{A}}^{2}+2g{L}_{AB}sin53°-2μg（{L}_{AB}cos53°+{L}_{BC}）}$=7m/s；
（3）要使物块不离开圆轨道，物块要么能通过圆轨道最高点，要么能到达的最高点高度小于半径；
故若物块能通过圆轨道最高点，那么对物块在最高点应用牛顿第二定律可得：$mg≤\frac{m{v}^{2}}{R}$；
物块在圆轨道上运动只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{v}^{2}≥\frac{5}{2}mgR$
解得：$R≤\frac{{{v}_{C}}^{2}}{5g}=0.98m$；
若物块能到达的最高点高度小于半径，那么由机械能守恒可得：$\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=mgH≤mgR$
解得：$R≥\frac{{{v}_{C}}^{2}}{2g}=2.45m$；
答：（1）物块初速度v₀的大小为3m/s；
（2）物块滑过C点时的速率v_C为7m/s；
（3）要使物块不离开圆轨道，则竖直圆轨道的半径R≤0.98m或R≥2.45m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．