Question

1．如图甲所示，一光滑的平行金属导轨ABCD竖直放置，AB，CD相距L，在A，C之间接一个阻值为R的电阻，在两导轨间的abcd矩形区域内有垂直导轨平面向里，高度为5h的有界匀强磁场，磁感应强度为B．一质量为m，电阻为r，长度也为L的导体棒放在磁场下边界ab上（与ab边重合）．现用一个竖直向上的力F拉导体棒，使它由静止开始向上运动，导体棒刚要离开磁场时恰好做匀速直线运动，导体棒与导轨始终垂直且保持良好接触，导轨电阻不计，F随导体棒与初始位置的距离x变化的情况如图乙所示，求：
（1）导体棒离开磁场的速度大小v和导体棒两端电压U；
（2）导体棒经过磁场的过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）导体棒经过磁场的过程中，电阻R上产生的焦耳热Q_R．

Answer 1

分析 （1）根据欧姆定律求离开磁场时导体棒两端电压．
（2）根据安培力与速度的关系式和平衡条件结合求导体棒离开磁场时的速度大小．根据q=$\frac{△∅}{R+r}$求通过电阻R的电荷量．
（3）根据功能关系求出电阻R产生的焦耳热．

解答 解：（1）设导体棒离开磁场时速度大小为v．此时导体棒受到的安培力大小为：F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$．
由平衡条件得：F=F_安+mg
由图2知：F=3mg，
联立解得：v=$\frac{2mg（R+r）}{{B}^{2}{L}^{2}}$．
离开磁场时，由F=BIL+mg得：I=$\frac{2mg}{BL}$，
导体棒两端电压为：U=IR=$\frac{2mgR}{BL}$．
（2）导体棒经过磁场的过程中，通过电阻R的电荷量为：q=$\frac{△∅}{R+r}$=$\frac{5BLh}{R+r}$．
（3）导体棒经过磁场的过程中，设回路产生的总焦耳热为Q．
根据功能关系可得：Q=W_F-mg•5h-$\frac{1}{2}$mv²，
而拉力做功为：W_F=2mgh+3mg•4h=14mgh
电阻R产生焦耳热为：Q_R=$\frac{R}{R+r}$ Q
联立解得：Q_R=$\frac{9mghR{B}^{4}{L}^{4}-2{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}（R+r）}$．
答：（1）导体棒离开磁场的速度大小v和导体棒两端电压$\frac{2mgR}{BL}$；
（2）导体棒经过磁场的过程中，通过电阻R的电荷量$\frac{5BLh}{R+r}$；
（3）导体棒经过磁场的过程中，电阻R上产生的焦耳热$\frac{9mghR{B}^{4}{L}^{4}-2{m}^{3}{g}^{2}R（R+r）^{2}}{{B}^{4}{L}^{4}（R+r）}$．

点评 本题是电磁感应与力学知识的综合应用，对于这类问题一定要正确分析安培力的大小和方向，要掌握安培力经验公式F_安=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，能正确分析能量是如何转化的，运用能量守恒定律求焦耳热．