Question

如图所示，与纸面垂直的竖直面MN的左侧空间中存在竖直向上场强大小为E=2.5×10²N/C的匀强电场（上、下及左侧无界）．一个质量为m=0.5kg、电量为q=2.0×10²C的可视为质点的带正电小球，在时刻t=0以大小为υ₀的水平初速度向右通过电场中的一点P，当t=t₁时刻在电场所在空间中加是一如右图所示随时间表周期性变化的磁场，使得小球能竖直向下通过D点，D为电场中小球初速度方向上一点，PD间距为L，D到竖直面MN的距离DQ为L/π，设磁感应强度垂直纸面向里为正，（g=10m/s²

（1）如果磁感应强度B₀为已知量，试推出满足条件时t₁的表达式（用题中所给物理量的符号表示）．
（2）若小球能始终在电场所在空间做周期性运动，则当小球运动的周期最大时，求出磁感应强度B₀及运动的最大周期T的大小．
（3）当小球运动的周期最大时，在图中画出小球运动一个周期的轨迹．

Answer 1

分析：（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，根据洛伦兹力提供向心力，结合牛顿第二定律与几何关系，即可求解；
（2）根据小球做匀速圆周运动，由几何关系与运动轨道周期的公式，即可求解；
（3）根据对小球受力分析，由受力情况来确定运动情况，从而画出运动轨迹．

解答：解：当小球进入电场时：mg=Eq将做匀速直线运动
（1）在t₁时刻加入磁场，小球在时间t₀表内将做匀速圆周运动，圆周运动周期为T₀
若竖直向下通过D点，由图甲分析可知必有以下两个重要条件：t0=

3

4

T0； PF-PD=R即：υ₀t₁-L=R；
粒子运动的半径：R=

mυ0

qB0

所以：υ₀t₁-L=

mv0

qB0

即：t1=

L

v0

+

m

qB0

 
（2）小球运动的速率始终不变，当R变大时，T₀也增加，小球在电场中的周期T增加，在小球不飞出电场的情况下，当T最大时有：DQ=2R          

L

π

=

2Mυ0

qB0

B0=

2πR

υ0

=

2πm

qB0

=

L

υ0

；
由图分析可知小球在电场中运动的最大周期：T=8×

3T0

4

=6

L

υ0

；
（3）由1的方向可得，当不存在磁场时，小球做匀速直线运动，当存在磁场时，小球做匀速圆周运动，所以小球运动轨迹如图甲-2所示
答：（1）满足条件的表达式为：t1=

L

v0

+

m

qB0

    （2）磁感应强度B0=

L

υ0

；运动的最大周期T的大小为

6L

v0

    （3）小球运动轨迹如图甲-2所示．

点评：考查粒子在电场力与重力的匀速直线运动，及在电场力、磁场力与重力共同作用下的匀速圆周运动，掌握受力平衡的条件，理解几何关系在题目中的应用．注意左手定则中运动的电荷的正负电性．