Question

19．如图甲所示，平行正对且距离较近的金属板M、N竖直放置，两板间加有直流电压，靠近N板还有两个平行正对的金属板P、Q水平放置，P、Q两板间加有交变电压，两板中间的区域既有垂直纸面向里的匀强磁场，也有交变电场．交变电场的变化规律如图乙所示，N板中心有小孔，靠近M板、与N板小孔正对处有一装置不断产生质量为m、电荷量为q的带正电微粒，带电微粒初速度不计，经电场加速后从小孔射出，正好沿P、Q两板的中轴线OO′上的O点以速度v射入复合场区，且存在能从O′射出的粒子．微粒在M、N间运动时间很短，不考虑重力影响．在P、Q间运动时间大于$\frac{T}{2}$，需要考虑重力．重力加速度g以及上述v、m、q为已知量．求：
（1）M、N间电场的加速电压U；
（2）P、Q间复合场区磁场的磁感应强度B以及交变电场的场强E₀；
（3）极板P、Q的最小距离d、极板的最小长度L以及交变电场周期T的可能值．

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求加速电压
（2）粒子进入交变电磁场区域中后，因为存在能从O'射出的粒子，速度沿水平方向，运动时间大于$\frac{T}{2}$，粒子做完整匀速圆周运动和匀速直线运动交替，根据受力分析，在复合场中匀速圆周运动，必有重力等于电场力，求出${E}_{0}^{\;}$，以及根据受力平衡求B．
（3）根据运动的具体情景及圆周运动的周期性求最小距离d、极板最小长度L及交变电场周期T的可能值．

解答 解：（1）根据动能定理，有$qU=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}-0$
解得：$U=\frac{m{v}_{\;}^{2}}{2q}$
（2）在P、Q间运动时，带正电的微粒受到重力、电场力和洛伦兹力作用，沿P、Q两板的中轴线OO′上的O点以速度v射入复合场区，且存在能从O′射出的粒子，说明粒子在交变电场中匀速直线运动和匀速圆周运动，做匀速圆周运动时，有$mg={E}_{0}^{\;}q$
${E}_{0}^{\;}=\frac{mg}{q}$
匀速直线运动时受力分析，受到重力、向上的洛伦兹力和向下的电场力，受力平衡$qvB=mg+{E}_{0}^{\;}q$
解得$B=\frac{2mg}{qv}$
（3）极板P、Q间的最小距离$d=4R=4\frac{mv}{qB}=\frac{2{v}_{\;}^{2}}{g}$
极板的最小长度$L=2R=2\frac{mv}{qB}=\frac{{v}_{\;}^{2}}{g}$
粒子做匀速圆周运动的周${T}_{磁}^{\;}=\frac{2πm}{qB}=\frac{2πm}{q}\frac{qv}{2mg}=\frac{πv}{g}$
交变电场的$\frac{T}{2}$时间内，粒子运动一个周期的整数倍$\frac{T}{2}=n{T}_{磁}^{\;}=\frac{nπv}{g}$（n=1、2、3…）
答：（1）M、N间电场的加速电压U为$\frac{m{v}_{\;}^{2}}{2q}$；
（2）P、Q间复合场区磁场的磁感应强度B为$\frac{2mg}{qv}$以及交变电场的场强${E}_{0}^{\;}$为$\frac{mg}{q}$；
（3）极板P、Q的最小距离d为$\frac{2{v}_{\;}^{2}}{g}$、极板的最小长度L为$\frac{{v}_{\;}^{2}}{g}$以及交变电场周期T的可能值$\frac{nπv}{g}（n=1、2、3…）$．

点评 本题考查带电粒子在复合场中运动的问题，分析粒子的受力情况，确定其运动情况，关键是理清思路，搞清楚带电粒子的运动情景，合理选择规律解题．