Question

如图所示，A、B、C是三个完全相同的物块，质量均为m，其中物块A、B用轻弹簧相连，将它们竖直放在水平地面上处于静止状态，此时弹簧的压缩量为x₀。已知重力加速度为g，物块的厚度及空气阻力均可忽略不计，且在下面所述的各过程中弹簧形变始终在弹性限度内。

小题1:若用力将物块A竖直向上缓慢提起，使物块B恰好能离开水平地面，求此过程中物块A被提起的高度。
小题2:如果使物块C从距物块A高3x₀处自由落下，C与A相碰后，立即与A粘在一起不再分开，它们运动到最低点后又向上弹起，物块A刚好能回到使弹簧恢复为原长的位置。求C与A相碰前弹簧的弹性势能大小。
小题3:如果将物块C从距物块A上方某处由静止释放， C与A相碰后立即一起向下运动但并不粘连。此后物块A、C在弹起过程中分离，其中物块C运动到最高点时被某装置接收，而物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动。求物块C的释放位置与接收位置间的距离。

Answer 1

小题1:L= x₀+ x₁=2x₀ 
小题2:E_p=mgx₀
小题3:6.5x₀

（1）设弹簧劲度系数为k，物块A、B用轻弹簧相连接，竖直放置时，弹簧被压缩，A处于平衡状态，此时弹簧压缩量  x₀=mg/k
缓慢提起A到B将要离开水平地面时弹簧伸长x₁，此时物块B所受重力和弹力平衡，所以弹簧伸长量  x₁="mg/k=" x₀   
物块A向上提起的高度     L= x₀+ x₁=2x₀    
（2）设C自由落下到与A相碰前的速度为v₁，由机械能守恒定律有
mg·3x₀=mv₁²
设C与A相碰后一起向下运动的初速度为v₂，根据动量守恒定律有
mv₁=2mv₂  
设C与A相碰前弹簧的弹性势能为E_p。 物块A、C运动到最低点后又向上弹起，刚好能回到使弹簧恢复为原长的位置过程中，A、C与弹簧组成的系统机械能守恒，有
2mv₂²+E_p=2mgx₀ 
联立以上各式，解得：E_p=mgx₀
说明：另一解法是直接运用弹性势能公式：　mg=kx₀，k=mg/x₀，则E_p=kx₀=mgx₀
这种解法同样得4分。
（3）设物块C释放位置到物块A的高度差为h₀，与物块A碰撞前速度为v₃，由机械能守恒定律有：
设C与A相碰后一起向下运动的初速度为v₄，根据动量守恒定律有
mv₃=2mv₄
物块A、C一起向下压缩弹簧后向上弹起，到达弹簧原长时C与A分离，设分离时的速度为v₅，对此过程由机械能守恒定律有
2mv₄²+E_p=2mgx₀+2mv₅²
之后，物块C向上做匀减速运动，设上升的高度为h，则根据机械能守恒定律有
mv₅²=mgh，  解得 
因物块A刚好能在物块B不离开地面的情况下做简谐运动，结合第（1）问可知，物块A运动到最高点时，弹簧形变量为x₀。所以物块A运动到最高点时弹簧的弹性势能与物块A处于静止状态时弹簧的弹性势能相等。
所以对物块A从弹簧恢复原长位置运动到最高点过程中，由机械能守恒定律有
mv₅²=mgx₀+E_p
联立以上各式，解得：h₀=9x₀，h=1.5x₀。
由几何关系可知，物块C的释放位置与接收位置间的距离
Δh=h₀-x₀-h=6.5x₀