Question

11．如图所示，质量为m=2kg的小物块从一半径为R=1.25m的四分之一光滑圆弧轨道顶点A处由静止下滑，滑到圆弧最低点B后，滑上长为l=3.5m，质量为$\frac{m}{2}$、没有厚度的长板，物块与长板上表面间的动摩擦因数为μ₁=0.2．长板放于平面上，它与水平面间的动摩擦因数μ₂=0.1，物块滑出长板后，在水平面上做直线运动，然后滑离水平面做平抛运动，已知水平面的长度L=6.5m，水平面的高度h=1.25m，到达另一平面时水平飞行距离s=1m．重力加速度为g=10m/s²．求：
（1）在圆弧轨道最低点B时物块对轨道的压力大小；
（2）物块与水平面间的动摩擦因数μ；
（3）物块滑离水平面时，它与长板左端的距离及平抛前整个过程中小物块损失的机械能．

Answer 1

分析 （1）物块从A点滑到圆弧轨道B点的过程中，根据动能定理求解物块到达B点的速度；在B点，根据牛顿第二定律求出轨道对物块的支持力，根据牛顿第三定律求出物块对轨道的压力；
（2）物块在木板上滑动时，对物块与木板运用牛顿第二定律求出各自的加速度．根据物块与木板位移之差等于板长，由位移时间公式求出物块在木板滑行的时间，并求出两者的位移．物块离开长板后二者都做匀减速运动．对物块的平抛运动，由水平距离和下落高度求出平抛运动的初速度．再对物块在水平面上滑行的过程，由牛顿第二定律和运动学公式结合求解物块与水平面间的动摩擦因数μ；
（3）根据几何关系求物块滑离水平面时它与长板左端的距离．根据功能关系求平抛前整个过程中小物块损失的机械能．

解答 解：（1）从A到B，由动能定理可得：mgR=$\frac{1}{2}$mv_B²，
代入数据解得：v_B=5m/s
在B点，设轨道对物体支持力为N，由牛顿第二定律可得：N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
代入数据联立解得：N=3mg=3×2×10=60N
 由牛顿第三定律可知，物块对轨道的压力大小为60N；
（2）物块在木板上滑行时，对物块，由牛顿第二定律有：-μ₁mg=ma₁；
对长板：μ₁mg-μ₂（m+m）g=ma₂
代入数据解得：a₁=-2m/s²，a₂=1m/s²；
根据运动学关系有：：（v_Bt₁+$\frac{1}{2}$a₁t₁²）-$\frac{1}{2}$a₂t₁²=l
代入数据解得：t₁=1s，另一解不符合题意舍去
即物块滑离长板时用时1s
滑离长板时物块的速度为：v₁=v_B+a₁t₁=5-2×1=3m/s
物块的位移为：x₁=v_Bt₁+$\frac{1}{2}$a₁t₁²=5×1-$\frac{1}{2}$×2×1²=4m
长板的位移为：x₂=$\frac{1}{2}$a₂t₁²=$\frac{1}{2}$×1×1²=0.5m
长板的速度为：v₂=1m/s
物块离开长板后二者都做匀减速运动，对物块的平抛运动有：
h=$\frac{1}{2}$gt₃²；
s=v'₁t³
解得：v'₁=2m/s
物块在水平面上匀减速运动时，由牛顿第二定律有：
-μmg=ma
又 v₂′²-v₁²=2a（L-x₁）
代入数据解得：μ=0.1
（3）设物块滑离木板在水平面滑行的时间为t₂．则有：
L-x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{2}′}{2}{t}_{2}$
代入数据解得：t₂=1s
木板在水平面上滑行时的加速度大小为：a₃=$\frac{{μ}_{2}mg}{m}$=1m/s²．
物块滑离水平面时，木板滑行的位移为：x₃=v₂t₂-$\frac{1}{2}$a₃t₂²=1×1-$\frac{1}{2}$×1×1²=0.5m
物块与长板左端的距离 S=l+（L-x₁）-x₃=3.5+（6.5-4）-0.5=5.5m
平抛前整个过程中小物块损失的机械能 E=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{′2}$
代入解得 E=21J．
答：
（1）在圆弧轨道最低点B时物块对轨道的压力大小是60N．
（2）物块与水平面间的动摩擦因数μ是0.1．
（3）物块滑离水平面时，它与长板左端的距离是5.5m，平抛前整个过程中小物块损失的机械能是21J．

点评 在解题时要正确分析物理过程，做好受力分析，再选择正确的物理规律求解．物块在木板上滑行时，采用隔离法研究加速度，运用运动学公式和位移关系求时间是关键．