Question

19．质量分别为m₁和m₂双星绕其连线上某一点做匀速圆周运动，已知它们之间的距离为R，求它们的轨道半径和周期分别是多少．

Answer 1

分析 双星系统靠相互间的万有引力提供向心力，抓住它们具有相同的周期，结合万有引力定律进行求解．

解答 解：对m₁有：$G\frac{{m}_{1}{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{1}{r}_{1}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，对m₂有：$\frac{G{m}_{1}{m}_{2}}{{R}^{2}}={m}_{2}{r}_{2}\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$，
则m₁r₁=m₂r₂，r₁+r₂=R，
解得${r}_{1}=\frac{{m}_{2}}{{m}_{1}+{m}_{2}}R$，${r}_{2}=\frac{{m}_{1}}{{m}_{1}+{m}_{2}}R$．
代入解得T=$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．
答：它们的轨道半径分别为$\frac{{m}_{2}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}、\frac{{m}_{1}R}{{m}_{1}+{m}_{2}}$，周期为$\sqrt{\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G（{m}_{1}+{m}_{2}）}}$．

点评 解决本题的关键知道双星系统的特点，知道双星具有相同的角速度，所受的万有引力大小相等，轨道半径与质量成反比．