Question

(13分)我国的“嫦娥三号”探月卫星将实现“月面软着陆”，该过程的最后阶段是:着陆器离月面h高时速度减小为零,为防止发动机将月面上的尘埃吹起,此时要关掉所有的发动机，让着陆器自由下落着陆。己知地球质量是月球质量的81倍,地球半径是月球半径的4倍， 地球半径R₀=6.4X10⁶m，地球表面的重力加速度g₀=10m/s²，不计月球自转的影响(结 果保留两位有效数字).

(1)若题中h=3.2m，求着陆器落到月面时的速度大小；

(2)由于引力的作用，月球引力范围内的物体具有引力势能。理论证明，若取离月心无穷远处为引力势能的零势点，距离月心为r的物体的引力势能，式中G为万有引力常数，M为月球的质量，m为物体的质景。求着陆器仅依靠惯性从月球表面脱离月球引 力范围所需的最小速度。

Answer 1

 (1)设月球质量为M、半径为R，月面附近重力加速为g，着陆器落到月面时的速度为υ

     忽略月球自转，在月球表面附近质量为m的物体满足： ①  （2分）

       设地球的质量为M₀，同理有：                   ②  （2分）

       着陆器自由下落过程中有：υ²=2gh                              ③  （2分）

       由①②③式并带入数据可得：υ=3.6m/s                               （3分）

(2)设着陆器以速度υ₀从月面离开月球，要能离开月球引力范围，则至少要运动到月球的零引力处，即离月球无穷远处。

   在着陆器从月面到无穷远处过程中，由能量关系得：

                            ④  （2分）

由①②④式并带入数据可得：υ₀=2.5×10³³³³m/s                       （2分）