Question

17．如图所示的xOy坐标系中，Y轴右侧空间存在范围足够大的匀强磁场，磁感应强度大小为B，方向垂直于xOy平面向外．Q_l、Q₂两点的坐标分别为（0，L）、（0，-L），坐标为（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$L，0）处的C点固定一平行于y轴放置的绝缘弹性挡板，C为挡板中点．带电粒子与弹性绝缘挡板碰撞前后，沿y轴方向分速度不变，沿x轴方向分速度反向，大小不变．现有质量为m，电量为+q的粒子，在P点沿PQ₁方向进入磁场，α=30°，不计粒子重力．
（1）若粒子从点Q₁直接通过点Q₂，求粒子初速度大小．
（2）若粒子从点Q₁直接通过点O，求粒子第一次经过x轴的交点坐标．
（3）若粒子与挡板碰撞两次并能回到P点，求粒子初速度大小及挡板的最小长度．

Answer 1

分析 （1）作出粒子运动的轨迹图，结合几何关系求出粒子在磁场中运动的轨道半径，根据半径公式求出粒子的速度．
（2）作出粒子运动的轨迹图，根据几何关系求出粒子运动的半径，通过几何关系求出第一次经过x轴的交点坐标；
（3）抓住与挡板碰撞两次并能回到P点，作出轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解．

解答 解：（1）由题意画出粒子运动轨迹如图甲所示，粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₁，由几何关系得R₁cos30°=L…（1）
粒子磁场中做匀速圆周运动，有：$qvB=m\frac{{{v_1}^2}}{R_1}$…（2）
解得：${v_1}=\frac{{2\sqrt{3}qBL}}{3m}$…（3）
（2）由题意画出粒子运动轨迹如图乙所示，设其与x轴交点为M，横坐标为x_M，由几何关系知：2R₂cos30°=L…（4）
x_M=2R₂sin30°…（5）
则M点坐标为（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L，0$）…（6）
（3）由题意画出粒子运动轨迹如图丙所示，
粒子在磁场中做圆周运动的半径大小为R₃，
偏转一次后在y负方向偏移量为△y₁，由几何关系得：△y₁=2R₃cos30°…（7）
为保证粒子最终能回到P，粒子每次射出磁场时速度方向与PQ₂连线平行，与挡板碰撞后，速度方向应与PQ₁连线平行，每碰撞一次，粒子出进磁场在y轴上距离△y₂（如图中A、E间距）可由题给条件得：
$△{y}_{2}=\frac{2\sqrt{3}L}{3}tan30°$…（8）
当粒子只碰二次，其几何条件是：3△y₁-2△y₂=2L…（9）
解得：${R}_{3}=\frac{10\sqrt{3}L}{27}$…（10）
粒子磁场中做匀速圆周运动，有：$q{v}_{3}B=m\frac{{{v}_{3}}^{2}}{{R}_{3}}$…（11）
解得：${v_3}=\frac{{10\sqrt{3}qBL}}{27m}$…（12）
挡板的最小长度为：$△L=2{R_3}cos{30°}-\frac{{2\sqrt{3}L}}{3}tan{30°}$…（13）
解得：$△L=\frac{4L}{9}$…（14）
答：（1）粒子初速度大小为$\frac{2\sqrt{3}qBL}{3m}$；
（2）粒子第一次经过x轴的交点坐标为（$\frac{{\sqrt{3}}}{3}L，0$）
（3）粒子初速度大小为$\frac{10\sqrt{3}qBL}{27m}$，挡板的最小长度为$\frac{4L}{9}$．

点评 本题考查了粒子在磁场中的运动，对于三小问，关键作出三种粒子的轨迹图，结合几何关系，运用半径公式进行求解，难度较大，对数学几何的关系要求较高，需加强这方面的训练．