Question

5．将一测力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力．图甲中O点为单摆的固定悬点，现将小摆球（可视为质点拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置，∠AOB=∠COB=α；α小于10°且是未知量．图乙表示由计算机得到的细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中t=0时刻为摆球从A点开始运动的时刻．试根据力学规律和题中（包括图中）所给的信息求：（g取10m/s²）

（1）单摆的振动周期和摆长；
（2）摆球的质量；
（3）摆球运动过程中的最大速度．

Answer 1

分析 （1）小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，求出单摆的周期．再根据单摆的周期公式求出摆长．
（2）小球在最高点时绳子的拉力最小，在最低点时绳子拉力最大，求出最高点和最低点绳子拉力的表达式，再结合动能定理或机械能守恒定律求出摆球的质量．
（3）根据最低点时绳子的拉力最大，结合牛顿第二定律求出摆球的最大速度．

解答 解：（1）摆球受力分析如图所示：


小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律，
T=0.4πs．
由单摆的周期公式为：T=2π$\sqrt{\frac{L}{g}}$，
解得：L=$\frac{g{T}^{2}}{4{π}^{2}}$=$\frac{10×0.16{π}^{2}}{4{π}^{2}}$=0.4m．
（2）（3）在最高点A，有：F_min=mgcosθ=0.495N，
在最低点B，有：F_max=mg+m$\frac{{v}^{2}}{L}$，
从A到B，机械能守恒，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}$mv²，
联立三式并代入数据得：m=0.05kg，v=$\frac{\sqrt{2}}{5}$m/s≈0.283m/s
答：（1）单摆的振动周期为0.4πs，摆长为0.4m；
（2）摆球的质量为0.05kg；
（3）摆球运动过程中的最大速度为0.283m/s．

点评 本题考查了单摆周期公式的应用，解决本题的关键掌握单摆的运动规律，知道单摆的周期公式，以及会灵活运用动能定理、牛顿第二定律解题．