Question

5．如图所示，在xOy平面的第一象限有一匀强电场，场强大小为E，电场的方向平行于y轴向下；在x轴和第四象限的射线OC之间有一匀强磁场，磁感应强度的方向垂直于纸面向外，大小为B，OC与x轴的夹角为ϕ=30°．有一质量为m，带有电荷量+q的质点从电场中的A点由静止释放，经过一段时间后，质点由电场进入磁场，不计重力影响．
（1）若质点第一次进入磁场并垂直于磁场边界的OC射线飞离磁场，试确定A点横、纵坐标x、y的关系式；
（2）若质点第一次进入磁场后轨迹与磁场边界的OC射线相切但未从切点离开磁场，已知A点横、纵坐标分别为a、b，求质点在电、磁场中运动的总时间．

Answer 1

分析 （1）粒子先在电场中直线加速，根据动能定理列式求解末速度；进入磁场后做匀速圆周运动，由于垂直OC射出，故可以确定圆心为O点，得到轨道半径，然后结合牛顿第二定律列式分析A点横、纵坐标x、y的关系式；
（2）若质点第一次进入磁场后轨迹与磁场边界的OC射线相切，画出轨迹，向上进入磁场后做匀变速直线运动后返回，再次做匀速圆周运动，画出轨迹，得到圆心角，根据公式t=$\frac{θ}{2π}T$求解在磁场中的运动时间；对电场中运动，根据牛顿第二定律列式求解加速度，根据运动公式列式求解时间，最后得到总时间．

解答 解：（1）对直线加速过程，根据动能定理，有：
$qEy=\frac{1}{2}m{v}^{2}$
画出运动轨迹，如图所示：
结合几何关系，有：r=x
根据牛顿第二定律，有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{r}$
联立解得：y=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}•{x}^{2}$
（2）粒子在电场中是匀变速直线运动，在磁场中匀速圆周运动，运动轨迹如图所示：
设进入磁场的圆轨道半径为r，O点与该圆轨道圆心的距离为2r，故O点为第二次进入磁场的圆形轨迹的圆心；
故粒子在磁场中运动的总时间为：t₁=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2π}T$=$\frac{\frac{π}{6}+π}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{7πm}{6qB}$
在电场运动的加速度为：a=$\frac{qE}{m}$
对匀加速直线运动过程，根据位移公式，有：t=$\sqrt{\frac{2b}{a}}$=$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
故电场运动的总时间为：t₂=3t=3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
故在电磁场中运动的总时间为：t_总=t₁+t₂=$\frac{7πm}{6qB}$+3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$
答：（1）若质点第一次进入磁场并垂直于磁场边界的OC射线飞离磁场，A点横、纵坐标x、y的关系式为y=$\frac{2mE}{q{B}^{2}}•{x}^{2}$；
（2）若质点第一次进入磁场后轨迹与磁场边界的OC射线相切但未从切点离开磁场，质点在电、磁场中运动的总时间为$\frac{7πm}{6qB}$+3$\sqrt{\frac{2bm}{qE}}$．

点评 本题考查了粒子在电磁场中运动的问题，关键是画出运动轨迹，分直线运动和匀速圆周运动过程进行讨论，结合几何关系、牛顿第二定律、运动学公式列式求解，不难．