Question

如图，真空室内存在匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，磁感应强度的大小B=0.60T，场区足够宽，磁场内有一块平面感光薄板ab，板面与磁场方向平行，在距ab的距离l=16cm处，ab中垂线上有一个点状的α放射源S，它向各个方向发射α粒子（氦核），α粒子的速度都是v=3.0×10⁶m/s，已知α粒子的电荷与质量之比q/m=5.0×10⁷C/kg，现只考虑在图纸平面中运动的α粒子，
（1）若ab长度为20cm，求ab下侧被α粒子打中的区域的长度．
（2）要使ab上侧能全部被α粒子打中，ab的长度应为多大？

Answer 1

分析：（1）α粒子在该磁场中的运动由洛伦兹力提供向心力做匀速圆周运动．轨迹在图中N左侧与ab相切时，此切点P₁就是α粒子能打中的左侧最远点．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过轨迹直径2R，根据几何关系求解ab下侧被α粒子打中的区域的长度．
（2）要全部打中ab上侧，ab的长度应在图示的圆内，根据几何关系可求得ab的长度．

解答：解：（1）α粒子带正电，故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动，
用R表示轨道半径，有 qvB=m

v2

R

…①

由此得：R=

mv

qB

代入数值得：R=10cm．
可见，2R＞l＞R．
因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S，由此可知，某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切，则此切点P₁就是α粒子能打中的左侧最远点．为定出P₁点的位置，可作平行于ab的直线cd，cd到ab的距离为R，以S为圆心，R为半径，作弧交cd于Q点，过Q作ab的垂线，它与ab的交点即为P₁.NP1=

R2-(l-R)2

，
解得：NP₁=8cm…②
再考虑N的右侧．任何α粒子在运动中离S的距离不可能超过2R，以2R为半径、S为圆心作圆，交ab于N右侧的P₂点，
由图中几何关系得：NP2=

(2R)2-l2

，
解得：NP₂=12cm…③
由于右侧实际长度Nb=10cm＜NP═12cm，应取Nb=10cm．
所以所求长度为：P₁P₂=NP₁+Nb=18cm…④
（2）要全部打中ab上侧，ab的长度应在图示的圆内，

根据几何知识可得：cb²=sc×（2R-sc），
解得：cb=8cm，
所以ab＜16cm时就能打中ab上侧．
答：（1）ab下侧被α粒子打中的区域的长度为18cm．
（2）要使ab上侧能全部被α粒子打中，ab的长度应小于16cm．

点评：带电粒子在磁场中的运动解题的关键在于确定圆心和半径，然后再由几何关系即可求得要求的问题．