Question

（22分）如图甲所示，在xOy坐标平面的第一象限（包括x、y轴）内存在磁感应强度大小为B₀、方向垂直于xOy平面且随时间做周期性变化的匀强磁场，如图乙所示，规定垂直xOy平面向里的磁场方向为正。在y轴左侧有一对竖直放置的平行金属板M、N，两板间的电势差为U₀。一质量为m、电量为q的带正电粒子（重力和空气阻力均忽略不计），从贴近M板的中点无初速释放，通过N板小孔后从坐标原点O以某一速度沿x轴正方向垂直射入磁场中，经过一个磁场变化周期T₀（T₀未知）后到达第一象限内的某点P，此时粒子的速度方向恰好沿x轴正方向。

（1）求粒子进入磁场作匀速圆周运动时的运动半径；
（2）若粒子在t=0时刻从O点射入磁场中，求粒子在P点纵坐标的最大值y_m及相应的磁场变化周期T₀的值；
（3）若在上述（2）中，第一象限内y=y_m处平行x轴放置有一屏幕，如图甲，磁场变化周期为上述（2）中T₀，但M、N两板间的电势差U可以在U₀<U<9U₀范围内变化，粒子仍在t=0时刻从O点射入磁场中，求粒子可能击中的屏幕范围。

Answer 1

解：（1）设粒子被电场加速获得速度大小为v₀，根据动能定理qU₀=mv₀²
解得：v₀=.
带电粒子垂直进入匀强磁场后做半径为r的匀速圆周运动，q v₀B₀=m，
解得r=。
（2）设带电粒子在磁场中运动周期为T，则有T==。
如图所示，粒子在P点y坐标值最大，据几何知识有，OO₁=PO₂=r，
O₁O₂=2r，则AO₁=r。
P点纵坐标最大值y_m= OO₁ +AO₁+PO₂=(2+).
由几何关系知α=60°，粒子运动时转过α+90°=150°，磁场开始改变方向，即磁场变化半个周期内粒子运动转过150°角，则=T=.
（3）由U₀≤U≤9 U₀可得粒子速度v₀≤v≤3 v₀。
粒子在磁场中运动半径：r≤R≤3r。
由几何关系可得，在屏幕上击中的屏幕范围最左端轨迹如图2所示，该点横坐标x₁=0；
由几何关系可得，在屏幕上击中的屏幕范围最右端轨迹如图3所示，
由(y_m- R_m)²+x₂²=R_m²
解得该点横坐标x₂=r=；
粒子可能击中的屏幕范围为：0≤x≤。

应用动能定理、洛伦兹力公式、牛顿运动定律及其相关知识列方程解答。