Question

8．如图所示，在桌面上方有一倒立的玻璃圆锥，顶角∠AOB=120°，顶点O与桌面的距离为4a，圆锥的底面半径R=a，圆锥轴线与桌面垂直．有一半径为R的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，光束的中心轴与圆锥的轴重合．已知玻璃的折射率n=$\sqrt{3}$，求光束在桌面上形成的光斑的面积．

Answer 1

分析 当半径为R的圆柱形平行光束垂直入射到圆锥的底面上，经过第一次折射时，由于入射角等于零，所以折射角也是零，因此折射光线不发生偏折．当第二次折射时，由于入射角等于30°，而玻璃的折射率n=$\sqrt{3}$，可得临界角与入射角的关系，判断光线不会发生光的全反射，作出光路图，可根据几何关系可确定光斑的半径，即可求得光斑的面积．

解答 解：设玻璃的临界角为C，则有：sinC=$\frac{1}{n}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$
如图所示，射到OA界面的入射角为：α=30°，
则有：sinα=$\frac{1}{2}$＜sinC，α＜C
故入射光线能从圆锥侧面射出．
设折射角为β，无限接近A点的折射光线为AC，根据折射定律有：
sinβ=nsinα
解得：β=60°
过O点作OD∥AC，则∠O₂OD=β-α=30°
在直角三角形O₁AO中，O₁O=Rtan30°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a
在直角三角形△ACE中，EC=AEtan30°=（4a+$\frac{\sqrt{3}}{3}$a）$•\frac{\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}+1}{3}$a
故O₂C=EC-R=$\frac{4\sqrt{3}-2}{3}$a
O₂D=O₂Otan30°=4atan30°=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a
光束在桌面上形成光环的面积 
 S=π•O₂D²-π•O₂C²=$\frac{16\sqrt{3}-4}{9}$πa²  
答：光束在桌面上形成的光照亮部分的面积为$\frac{16\sqrt{3}-4}{9}$πa²．

点评 本题关键之处是根据光的折射定律与反射定律作出光路图，再利用几何关系来辅助计算．