Question

【题目】如图所示，半径为R的光滑半圆轨道AB竖直固定在一水平光滑的桌面上，轨道最低点B与桌面相切并平滑连接，桌面距水平地面的高度也为R。在桌面上轻质弹簧被a、b两个小球挤压（小球与弹簧不拴接），处于静止状态。已知a球的质量为m0，a、b两球质量比为2∶3。固定小球b，释放小球a，a球与弹簧分离后经过B点滑上半圆环轨道并恰能通过轨道最高点A。现保持弹簧形变量不变同时释放a、b两球，重力加速度取g，求：

（1）释放小球前弹簧具有的弹性势能Ep；

（2）b球落地点距桌子右端C点的水平距离；

（3）a球在半圆轨道上上升的最大高度H。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】试题分析：（1）由竖直平面内做圆周运动的条件求出a经过最高点的速度，由机械能守恒即可求出弹簧的弹性势能；（2）由动量守恒与机械能守恒求出a与b的速度，由平抛运动即可求出b球落地点距桌子右端C点的水平距离；（3）由机械能守恒即可求出a球在半圆轨道上上升的最大高度H．

（1）设a、b两球的质量为，由已知得

a球在B点时的速度为，恰能通过半圆环轨道最高点A时的速度为，则有：①

轻弹簧具有的弹性势能释放时全部转化成小球a的机械能

a球从释放到运动至A点过程中机械能守恒，则有②

（2）以a、b、弹簧为研究对象，弹开时系统动量守恒、能量守恒，a、b的速度分别为

则有：③， ④.又 ⑤

由③④⑤解得 ，

b球离开桌面后平抛，则有：⑥ ⑦

带入解得：

（3）设a球上升至最大高度时速度为0，则有：

解得：，可见a球会在某处脱离半圆轨道

设脱离时a球速度为v，脱离位置半径与竖直方向的夹角为α，如图所示

根据圆周运动向心力公式有 ：⑧

根据几何关系有：⑨

根据机械能守恒有 ：⑩

解得：