Question

如图所示，某小同学作滑板表演．该同学连同滑板质量为m=30kg（可视为质点），从倾角为37°的斜坡上的A点由静止开始下滑，在B点沿圆弧切线进入竖直光滑圆弧轨道．并从C点离开圆轨道腾空飞出，恰好在腾空后运动轨迹的最高点登上右侧平台．B、C为圆弧轨道的两端点，其连线水平．已知平台高h=0.8m，圆弧轨道半径为R=1.0m，斜坡与滑板间的动擦因数是0.25．不计空气阻力（g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8），试求：
（1）小同学登上平台时的速度；
（2）滑板在圆弧轨道最低点受到轨道的作用力大小；
（3）A、B两点间的距离．（结果保留三位有效数字）

Answer 1

分析：（1）该同学从C点离开圆轨道腾空飞出，恰好在腾空后运动轨迹的最高点登上右侧平台，此过程是斜上抛运动，其逆过程是平抛运动，根据高度h，由竖直方向上是自由落体运动，即可求出经过C点时竖直方向的分速度．经过C点时，该同学的速度与水平方向的夹角为37°，根据速度的分解，即可求出经过C点时水平分速度，即为小同学登上平台时的速度；
（2）由速度的合成可求出C点的速度．从B到圆弧轨道最低点的过程，机械能守恒，求出到达最低点时的速度大小，由牛顿第二定律即可求解圆弧轨道对滑板对支持力；
（3）A到B过程，运用动能定理求解A、B两点间的距离．

解答：解：（1）从C腾空飞出平台的过程可逆向看作平抛运动，在C点：y竖直方向的分速度为v_y，水平方向分速度为_x．则有

v

2 y

=2gh  ①
  又tan37°=

vy

vx

  ②
解得 v_x=

16

3

≈5.33m/s，即为登上平台的速度．
（2）由sin37°=

vy

vC

得，v_C=

20

3

m/s
从最低点到C点的过程，由机械能守恒得
 

1

2

mv2=

1

2

m

v

2 C

+mgR（1-cos37°）
在最低点：N-mg=m

v2

R

解得，N=1.75×10³N
（3）由于机械能守恒，则有v_B=v_C
从A到B，由动能定理得
  （mgsin37°-μmgcos37°）L=

1

2

m

v

2 B

解得L≈5.56m
答：
（1）小同学登上平台时的速度是5.33m/s；
（2）滑板在圆弧轨道最低点受到轨道的作用力大小是1.75×10³N；
（3）A、B两点间的距离是5.56m．

点评：本题主要考查了平抛运动、动能定理及机械能守恒、牛顿运动定律等基本规律的应用，关键是巧用逆向思维求出速度．