Question

15．如图，在公路转弯处，常采用外高内低的斜面式弯道，这样可以使车辆经过弯道时不必大幅减速，从而提高通行能力且节约燃料．若某处有这样的弯道，其半径为r=100m，路面倾角为θ，且tanθ=0.4，取g=10m/s²．
（1）求汽车的最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力时的速度．
（2）若弯道处侧向动摩擦因数μ=0.5，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，求汽车的最大速度．

Answer 1

分析 （1）车辆以最佳速度通过弯道时，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律和向心力公式求解．
（2）汽车转弯时，静摩擦力沿斜面向下达到最大时，速度最大，再根据牛顿第二定律可求出汽车转弯的最大车速．

解答 解：（1）车辆以最佳速度通过弯道时，由重力和路面的支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得：
mgtanθ=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，
得：v=$\sqrt{grtanθ}=\sqrt{10×100×0.4}$m/s=20m/s．
（2）当以最大速度转弯时，最大静摩擦力沿斜面向下，此时根据牛顿第二定律，车在竖直方向平衡，有：Ncosθ=mg+fsinθ
车在水平方向有：Nsinθ+fcosθ=m$\frac{{{v}_{m}}^{2}}{r}$
又f_m=μN
以上三式解得：v_m=$\sqrt{\frac{（tanθ+μ）gr}{1-μtanθ}}$=33.6m/s．
由此解得最大速度为：v_m=m/s．故汽车不出现侧向摩擦力的速度为m/s，
答：（1）最佳通过速度，即不出现侧向摩擦力的速度为20m/s．
（2）最大通过速度为33.6m/s．

点评 熟记摩擦力公式和向心力公式是解决本题的关键，弄清向心力是由哪些力提供的，通常这样找向心力：沿半径方向的所有力的合力提供该物体做圆周运动的向心力．