Question

6．如图所示，用一根长l=0.9m的不可伸长的绝缘细线，一端栓一个质量m=0.1kg、带电量q=-10^-4C的小球，另一端固定在O点．现在最低点A给小球一个沿水平方向、大小为6m/s的速度v，若要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，还需在竖直方向上加一个匀强电场，（g=10m/s²）
（1）试问：其电场方向如何？
（2）求出电场强度大小的范围．

Answer 1

分析 （1）假设没有电场时，根据牛顿第二定律和机械能守恒定律结合，求出小球能在竖直平面内做完整的圆周运动时最低点最小的速度，与v=6m/s比较，判断出电场力的方向，从而确定电场力的方向．
（2）分重力大于电场力和重力小于电场力两种情况讨论，由临界速度和动能定理结合求解．

解答 解：（1）假设没有电场，小球能在竖直平面内做完整的圆周运动时在最高点的最小速度应满足：
mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{l}$
从A到B，由机械能守恒得：2mgl+$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
解得：v_A=$\sqrt{5gl}$=$\sqrt{5×10×0.9}$=$\sqrt{45}$m/s
则v=6m/s＜v_A，所以要使小球能在竖直平面内做完整的圆周运动，电场力方向必须竖直向上，则电场强度方向应竖直向下．
（2）若电场力大于重力，刚好通过A点时，有：qE₁-mg=m$\frac{{v}^{2}}{l}$
解得：E₁=$\frac{mg}{q}$+$\frac{m{v}^{2}}{lq}$=$\frac{0.1×10}{1{0}^{-4}}$+$\frac{0.1×{6}^{2}}{0.9×1{0}^{-4}}$=50000 V/m
若电场力小于重力，刚好通过B点时，有：mg-qE₂=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{l}$
从A到B，由动能定理有：qE₂•2l-2mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
联立解得：E₂=2000V/m
故电场强度大小的范围为2000V/m≤E≤50000V/m
答：（1）电场方向为竖直向下．         
（2）电场强度大小的范围为2000V/m≤E≤50000V/m．

点评 本题是机械能守恒定律、动能定理和牛顿第二定律的综合应用，关键要找到物理的最高点，把握最高点的临界条件：绳子拉力为零，由电场力与重力的合力提供向心力．