Question

11．在水平地面上竖直固定一根内壁光滑的圆管，管的半径R=3.6m（管的内径大小可以忽略），管的出口A在圆心的正上方，入口B与圆心的连线与竖直方向成60°角，如图所示．现有一只质量m=1kg的小球（可视为质点）从某点P以一定的初速度水平抛出，恰好从管口B处沿切线方向飞入，小球到达A时恰好与管壁无作用力．取g=10m/s²．求：
（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小；
（2）小球在刚进入圆管B点时的速度大小；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x和竖直距离h．

Answer 1

分析 （1）对小球在A点应用牛顿第二定律求解；
（2）对B到A的运动过程应用机械能守恒求解；
（3）根据B点速度方向求得竖直、水平分速度，然后根据平抛运动规律求解．

解答 解：（1）小球到达A时恰好与管壁无作用力，故小球在A点只受重力作用，由牛顿第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$；
所以，小球到达圆管最高点A时的速度大小为：${v}_{A}=\sqrt{gR}=6m/s$；
（2）小球在光滑圆管内运动只有重力做功，机械能守恒，故有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR（1+cos60°）+\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}$=2mgR，
所以，小球在刚进入圆管B点时的速度大小为：${v}_{B}=2\sqrt{gR}=12m/s$；
（3）小球恰好从管口B处沿切线方向飞入，故小球在B点的水平分速度为：v_x=v_Bcos60°=6m/s，竖直分速度为：${v}_{y}={v}_{B}sin60°=6\sqrt{3}m/s$；
所以，小球抛出点P到管口B的竖直距离为：$h=\frac{{{v}_{y}}^{2}}{2g}=5.4m$，运动时间为：$t=\frac{{v}_{y}}{g}=0.6\sqrt{3}s$，那么，小球抛出点P到管口B的水平距离为：$x={v}_{x}t=3.6\sqrt{3}m$；
答：（1）小球到达圆管最高点A时的速度大小为6m/s；
（2）小球在刚进入圆管B点时的速度大小为12m/s；
（3）小球抛出点P到管口B的水平距离x为$3.6\sqrt{3}m$，竖直距离h为5.4m．

点评 经典力学问题一般先对物体进行受力分析，求得合外力及运动过程做功情况，然后根据牛顿定律、动能定理及几何关系求解．