如图所示.AB为光滑圆弧形轨道.半径R=2.5m.圆心角为60°.质量M=4kg的小车静止在光滑水平面上.上表面离地高度h=0.8m.且与B点的等高.右侧很远处有一个和小车等高的障碍物C.DE是以恒定速率15m/s转动的传送带.D点位于水平面上．有一可视为质点m=1kg的物体.从A点静止释放.在B点冲上小车时.小车立即受到一水平向右恒力F的作用.当物块滑� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

如图所示，AB为光滑圆弧形轨道，半径R=2.5m，圆心角为60°，质量M=4kg的小车（紧靠B点）静止在光滑水平面上，上表面离地高度h=0.8m，且与B点的等高，右侧很远处有一个和小车等高的障碍物C（厚度可忽略），DE是以恒定速率15m/s转动的传送带，D点位于水平面上．有一可视为质点m=1kg的物体，从A点静止释放，在B点冲上小车时，小车立即受到一水平向右恒力F的作用，当物块滑到小车最右端时，二者恰好相对静止，同时撤掉恒力F，然后小车撞到障碍物C后立即停止运动，物块沿水平方向飞出，在D点恰好无磁撞地切入传送带，并沿着传送带下滑．已知物块与小车间的动摩擦因数μ₁=0.2，与传送带的动摩擦因数为μ₂=$\frac{1}{3}$，传送带长度为s=28m，与水平面的夹角为53°（取g=10m/s²，sin53°=0.8，cos53°=0.6）．求：
（1）物块滑到B点的速度大小v₀和物块飞离小车的水平速度大小v；
（2）恒力F的大小和小车的长度L；
（3）物块在传送带上的运动时间t及在传送带上由于摩擦产生的内能Q．

分析（1）由机械能守恒定律求出物块滑到B点的速度大小v₀，研究小车撞到障碍物C后物块沿水平方向飞出的过程，该过程物块做平抛运动，下落的高度为h，到达D点时速度与水平方向的夹角为53°，由h求得下落到D点时竖直分速度，再由速度分解法求得物块飞离小车的水平速度大小v和物块滑到B点的速度大小v₀．
（2）物块在小车上运动的过程中做匀减速运动，由速度时间公式求出物块在小车上滑行的时间．再对小车，由牛顿第二定律和速度公式结合求F，由位移公式求出物块与小车的位移，两者之差即等于小车的长度L．
（3）分析物块在传送带上的运动情况，由牛顿第二定律和运动学公式求时间t，求得两者的相对位移，即可求得内能Q．

解答解：（1）物块从A到B的过程，由机械能守恒定律得：
mgR（1-cos60°）=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
代入数据得：v₀=5m/s
小车撞到障碍物C后物块做平抛运动，则有：
h=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
代入数据得：t=0.4s
物块到达D点时竖直分速度大小为：v_y=gt=10×0.4=4m/s
速度与水平方向的夹角为53°，则物块飞离小车的水平速度大小为：
v=v_ycot53°=4×$\frac{3}{4}$=3m/s
（2）物块在小车滑行的加速度大小为：
a_m=$\frac{{μ}_{1}mg}{m}$=μ₁g=0.2×10=2m/s²．
物块在小车上滑行的时间为：
t=$\frac{{v}_{0}-v}{{a}_{m}}$=$\frac{5-3}{2}$=1s
则小车在此过程中的加速度为：
a_M=$\frac{v}{t}$=$\frac{3}{1}$=3m/s²．
对小车，由牛顿第二定律得：
F-μ₁Mg=Ma_M．
代入数据解得：F=10N
小车的长度为：L=$\frac{{v}_{0}+v}{2}t$-$\frac{vt}{2}$=$\frac{{v}_{0}}{2}t$=$\frac{5×1}{2}$=2.5m；
（3）物块刚滑上传送带时的初速度为：v₁=$\frac{{v}_{y}}{sin53°}$=$\frac{4}{0.8}$=5m/s
设传送带的速度为v_皮，则有：v_皮=15m/s
可知，物块滑上传送带后先做匀加速运动，所受的滑动摩擦力沿斜面向下，加速度为：
a₁=$\frac{mgsin53°+{μ}_{2}mgcos53°}{m}$=g（sin53°+μ₂cos53°）
代入数据解得：a₁=10m/s²．
物块速度从v₁增大到传送带速度的时间为：t₁=$\frac{{v}_{皮}-{v}_{1}}{{a}_{1}}$=$\frac{15-5}{10}$=1s
位移为：x₁=$\frac{{v}_{1}+{v}_{皮}}{2}{t}_{1}$=$\frac{5+15}{2}×1$=10m＜s=28m
共速后，由于mgsin53°＞μ₂mgcos53°，所以物块继续匀加速运动，加速度大小为：
a₂=$\frac{mgsin53°-{μ}_{2}mgcos53°}{m}$=g（sin53°-μ₂cos53°）
代入数据解得：a₂=6m/s²．
根据运动学公式得：s-x₁=v_皮t₂+$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$
代入数据得：18=15t₂+3t₂²．
解得：t₂=1s（另一负值舍去）
所以物块在传送带上的运动时间为：t_总=t₁+t₂=2s
物块在传送带上由于摩擦产生的内能为：
Q=μ₂mgcos53°•[（v_皮t₁-x₁）+（s-x₁-v_皮t₂）]
代入数据解得：Q=16J
答：
（1）物块滑到B点的速度大小v₀和物块飞离小车的水平速度大小v分别为5m/s和3m/s；
（2）恒力F的大小是10N，小车的长度L是2.5m；
（3）物块在传送带上的运动时间t是2s，在传送带上由于摩擦产生的内能Q是16J．

点评本题运动过程复杂，分析清楚物体运动过程是关键，要通过牛顿第二定律和运动学公式边计算边分析，要知道摩擦产生的内能与相对路程有关．

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D．

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