Question

10．如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5m处有一质量m=0.4kg的小物体与圆盘始终保持相对静止，物体与盘面间的动摩擦因数为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，（设最大静摩擦力等于滑动摩擦力），盘面与水平面的夹角为30°，g取10m/s²．求：
（1）当角速度ω=0时小物体所受的摩擦力；
（2）角速度ω的最大值为多少；
（3）当角速度ω为最大值时，小物体运动到圆心等高位置A时小物体所受的摩擦力的大小．

Answer 1

分析 （1）由共点力的平衡条件可求得小物体受到的摩擦力；
（2）当物体转到圆盘的最低点，由重力沿斜面向下的分力和最大静摩擦力的合力提供向心力时，角速度最大，由牛顿第二定律求出最大角速度．
（3）当物体转到圆盘的最高点，由重力沿斜面向下的分力和静摩擦力的合力提供向心力，由牛顿第二定律列式求解．

解答 解：（1）当圆盘不转动时，滑块受力平衡，则有：
f=mgsin30°=0.4×10×$\frac{1}{2}$=2N；
（2）当物体转到圆盘的最低点，所受的静摩擦力沿斜面向上达到最大时，角速度最大，由牛顿第二定律得：
μmgcos30°-mgsin30°=mω²r
则ω=$\sqrt{\frac{g（μcos30°-sin30°）}{r}}$=$\sqrt{\frac{10×（\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}）}{2.5}}$rad/s=1rad/s
（3）当物体转到与圆心等高的位置，摩擦力应等于向心力与重力分力的合力；
需要的向心力F=mω²r=0.4×1×2.5=1N；
则摩擦力f=$\sqrt{{F}^{2}+（mgsinθ）^{2}}$=$\sqrt{1+（4×0.5）^{2}}$=$\sqrt{5}$N；
解得：
f=-0.25N  负号表示方向平行圆盘向上
答：（1）当角速度ω=0时小物体所受的摩擦力为2N；
（2）ω的最大值是1rad/s；
（3）以（2）问中的角速度转动时，小物体运动至最高点时所受的摩擦力为$\sqrt{5}$N．

点评 本题关键是明确滑块的运动规律和受力情况，找到向心力来源，然后根据牛顿第二定律列式求解即可．