Question

3．如图所示，A是地球同步卫星，B是近地卫星，它们的轨道半径之比为6：1
（1）求卫星A、B线速度大小之比；
（2）地球自转的周期为T，同步卫星A的轨道半径为r，引力常量为G，则地球的质量M为多少？

Answer 1

分析 （1）AB绕地球做圆周运动，根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，由此可知轨道半径越大，速度越小，据此判断线速度大小．
（2）由万有引力定律和牛顿第二定律即可求出地球的质量．

解答 解：（1）对卫星由万有引力定律和牛顿第二定律得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$                                   
解得：$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
即：v∝$\sqrt{\frac{1}{r}}$
则卫星A与卫星B线速度大小之比：$\frac{{v}_{A}}{{v}_{B}}=\sqrt{\frac{{r}_{B}}{{r}_{A}}}=\sqrt{\frac{1}{6}}$
（2）对同步卫星A，由万有引力定律和牛顿第二定律有：$G\frac{M{m}_{A}}{{r}^{2}}={m}_{A}\frac{{4π}^{2}r}{{T}^{2}}$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$
答：（1）卫星A、B线速度大小之比为$\sqrt{\frac{1}{6}}$；
（2）地球自转的周期为T，同步卫星A的轨道半径为r，引力常量为G，则地球的质量M为$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{G{T}^{2}}$．

点评 考查万有引力提供向心力做匀速圆周运动的应用，注意分清同步，则有相同角速度，而在地球上的物体运动与地球外的物体运动向心力不同是解题的关键．