Question

14．如图甲所示，在光滑绝缘水平桌面内建立xOy坐标系，在第Ⅱ象限内有平行于桌面的匀强电场，场强方向与x轴负方向的夹角θ=45°．在第Ⅲ象限垂直于桌面放置两块相互平行的平板C₁、C₂，两板间距为d₁=0.6m，板间有竖直向上的匀强磁场，两板右端在y轴上，板C₁与x轴重合，在其左端紧贴桌面有一小孔M，小孔M离坐标原点O的距离为L=0.72m．在第Ⅳ象限垂直于x轴放置一块平行y轴且沿y轴负向足够长的竖直平板C₃，平板C₃在x轴上垂足为Q，垂足Q与原点O相距d₂=0.18m．现将一带负电的小球从桌面上的P点以初速度v₀=4$\sqrt{2}$m/s垂直于电场方向射出，刚好垂直于x轴穿过C₁板上的M孔，进入磁场区域．已知小球可视为质点，小球的比荷$\frac{q}{m}$=20C/kg，P点与小孔M在垂直于电场方向上的距离为s=$\frac{\sqrt{2}}{10}$m，不考虑空气阻力．求：
（1）匀强电场的场强大小；
（2）要使带电小球无碰撞地穿出磁场并打到平板C₃上，求磁感应强度的取值范围；
（3）若t=0时刻小球从M点进入磁场，磁场的磁感应强度如乙图随时间呈周期性变化（取竖直向上为磁场正方向），求小球从M点到打在平板C₃上所用的时间．（计算结果保留两位小数）

Answer 1

分析 （1）小球在第二象限内做类平抛运动，结合牛顿第二定律和运动学公式求出电场强度的大小．
（2）根据类平抛运动的规律求出经过M点的速度，作出粒子在磁场中的临界运动轨迹，结合几何关系和半径公式求出磁感应强度的范围．
（3）根据半径公式和周期公式求出粒子在磁场中运动的轨道半径和周期，由磁场的周期得出小球在磁场中运动的轨迹图，根据几何关系可明确对应的各段的时间，从而求出总时间．

解答 解：（1）小球在第Ⅱ象限内做类平抛运动有：
v₀t=s
at=v₀tanθ
由牛顿第二定律有：qE=ma
代入据解得：E=8$\sqrt{2}$m/s．
（2）设小球通过M点时的速度为v，
由类平抛运动规律：v=$\frac{{v}_{0}}{sinθ}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$=8m/s；．
小球垂直磁场方向进入两板间做匀速圆周运动，轨迹如图1，
由牛顿第二定律有：$qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$，
得：B=$\frac{mv}{qR}$
小球刚好能打到Q点磁感应强度最强设为B₁．此时小球的轨迹半径为R₁
由几何关系有：$\frac{{R}_{1}}{{l}_{1}+{d}_{2}-{R}_{1}}=\frac{{l}_{1}-{R}_{1}}{{R}_{1}}$
代入数据解得：B₁=$\frac{2}{3}$T．
小球刚好不与C₂板相碰时磁感应强度最小设为B₂，此时粒子的轨迹半径为R₂
由几何关系有：R₂=d₁，
代入数据解得：B₂=1T；
综合得磁感应强度的取值范围：$\frac{2T}{3}$≤B≤1T．
（3）小球进入磁场做匀速圆周运动，设半径为R₃，周期为T；由周期公式可得：
R₃=$\frac{mv}{q{B}_{3}}$
解得：R₃=0.18m
T=$\frac{2πm}{q{B}_{3}}$
解得：T=$\frac{9π}{200}$s
由磁场周期T₀=$\frac{T}{3}$分析知小球在磁场中运动的轨迹如图2，一个磁场周期内小球在x轴方向的位移为3r=0.54m  
L-3r=0.18m
即：小球刚好垂直y轴方向离开磁场
则在磁场中运动的时间t₁=$\frac{T}{3}$+$\frac{T}{3}$+$\frac{T}{4}$=$\frac{33π}{800}$=0.13s
离开磁场到打在平板C₃上所用的时间t₂=$\frac{{d}_{2}}{v}$=0.02s
小球从M点到打在平板C₃上所用总时间t=t₁+t₂=0.02+0.13=0.15s；
答：（1）匀强电场的场强大小为$2\sqrt{2}N/C$；
（2）磁感应强度B的取值范围为：$\frac{2T}{3}$≤B≤1T．
（3）小球从M点到打在平板C₃上所用总时间0.15s；

点评 本题关键是明确粒子的运动规律、画出运动轨迹，然后结合牛顿第二定律、类似平抛运动的分位移公式和几何关系列式求解；要注意明角物理过程．