Question

2．如图所示，A、B两球中间有压缩的轻短弹簧处于锁定状态（A、B两球与弹簧两端接触但不连接）．弹簧的长度、两球的大小均忽略，整体视为质点，该装置从半径为R的竖直光滑圆轨道左侧图示位置由静止下滑，滑至最低点时，解除对弹簧的锁定状态之后，两球恰好都能到达与圆心等高点，已知A的质量为m，求：
（1）B的质量m_B为多少？
（2）弹簧处于锁定状态时的弹性势能E_p为多少？

Answer 1

分析 （1）两个小球下滑的过程中机械能守恒；弹簧解除锁定后，由动量守恒定律求出二者的速度；小球恰好能到达圆心等高点，由机械能守恒列式可求得；
（2）A、B系统滑到轨道最低点过程，整体的机械能守恒，列式求出整体到达最低点时的速度．对于解锁过程，系统的动量守恒，机械能也守恒，列式求解即可．

解答 解：（1）A与B最初一起下滑，有机械能守恒得：$（{m}_{A}+{m}_{B}）g（R-Rcos60°）=\frac{1}{2}（{m}_{A}+{m}_{B}）{v}_{1}^{2}$
整理得：${v}_{1}=\sqrt{gR}$
对最低点弹簧释放的过程中，设两球的速度大小是v2，选取向右为正方向，由动量守恒定律得：
（m_A+m_B）v₁=m_Bv₂-m_Av₂
都恰好上升到与圆心等高处，则：$2gR={v}_{2}^{2}$
联立以上方程，得：${m}_{B}=（3+2\sqrt{2}）m$
（2）弹簧的弹性势能：${E}_{P}=（{m}_{A}+{m}_{B}）gR-（{m}_{A}+{m}_{B}）g（R-Rcos60°）=（2+\sqrt{2}）mgR$
答：（1）B的质量m_B为$（3+2\sqrt{2}）m$；（2）弹簧处于锁定状态时的弹性势能E_p为$（2+\sqrt{2}）mgR$．

点评 该题中有多个过程，解题的关键是两个球和弹簧系统机械能守恒，根据动量守恒定律，及机械能守恒定律多次列式即可．