Question

13．如图所示，一长为L=1m的长平板车，放在光滑的水平面上，车的质量为M，有一质量为m的物块放在平板车的中点，M=2m=2kg，物块与平板车的动摩擦因数为μ=0.5，车的前端A离左侧一竖直墙的距离为s=1m，现在平板车的B端加一向左的水平恒力F，使得车与左侧墙刚好要相碰时物块刚好要滑离平板车，重力加速度为g=10m/s²．求：
（1）推力F的大小；
（2）若车与墙相撞后以原速率返回，同时辙去水平恒力F，物块达到与小车相同速度经过的时间．

Answer 1

分析 （1）车与左侧墙壁相碰撞前，m和车有相对运动，m做匀加速运动，位移为s₁，则s₁=0.5m，根据匀变速直线运动规律可以求出时间t；
车做匀加速运动，位移为s₂，则s₂=1m，根据牛顿第二定律可以求出F．
（2）根据匀变速直线运动规律可以求出碰撞瞬间m和车的速度，返回时，m和M有相对运动，m做匀加速运动，车M做匀减速运动，根据v=v₀+at可以求出t′．

解答 解：（1）设：车向左运动时，m受到水平向左的滑动摩擦力为f，f=μmg
根据牛顿第二定律f=ma₁ 得：a ₁=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
当车与左侧墙刚好要相碰时，m的位移为s₁，则s₁=0.5m，s₁=$\frac{1}{2}$a₁t²
得：t=$\frac{\sqrt{5}}{5}$s
车向左做匀加速运动，与墙壁碰撞时，位移为s₂，则s₂=1m，s₂=$\frac{1}{2}$a₂t²
得：a₂=10m/s²
车受到水平向左的恒力F和水平向右的来自m的滑动摩擦力，大小为f
根据牛顿第二定律：F-f=Ma₂
得：F=25N
（2）碰撞时m的速度为v₁，则v₁=a₁t=5×$\frac{\sqrt{5}}{5}$m/s=$\sqrt{5}$m/s
碰撞时M的速度为v₂，则v₂=a₂t=a₁t=10×$\frac{\sqrt{5}}{5}$m/s=2$\sqrt{5}$m/s
由于v₂＞v₁，所以碰撞后车与m有相对运动，
碰撞后m做匀加速直线运动，受到向右的滑动摩擦力f=μmg，加速度为a₃，根据牛顿第二定律μmg=ma₃
得：a₃=μg=0.5×10m/s²=5m/s²
车受到水平向左的滑动摩擦力f=μmg，做匀减速直线运动，加速度为a₄，根据牛顿第二定律f=Ma₄
化简得：μmg=Ma₄
得：a₄=$\frac{μmg}{M}$=$\frac{0.5×1×10}{2}$m/s²=$\frac{5}{2}$m/s²
设：物块m达到与小车相同速度经过的时间为t′，
v=v₁+a₃t′；v=v₂-a₄t′
将v₁=$\sqrt{5}$m/s、v₂=2$\sqrt{5}$m/s、a₃=5m/s²、a₄=$\frac{5}{2}$m/s²代入
得：$\sqrt{5}$+5t′=$2\sqrt{5}$-$\frac{5}{2}$t′
解得t′=$\frac{2\sqrt{5}}{15}$s．
答：（1）推力F的大小为25N；
（2）若车与墙相撞后以原速率返回，同时辙去水平恒力F，物块达到与小车相同速度经过的时间$\frac{2\sqrt{5}}{15}$s．

点评 在此题中，碰撞前m和车有相对运动，因此存在滑动摩擦力，返回时，也有相对运动，结合牛顿第二定律和匀变速直线运动规律就可以求出F和t′．