Question

5．滑雪运动是把滑雪板装在靴底上在雪地上进行速度、跳跃和滑降的竞赛运动．滑雪运动中当滑雪板相对雪地速度较大时，会把雪内的空气逼出来，在滑雪板与雪地间形成一个暂时的“气垫”，从而大大减小雪地对滑雪板的摩擦．然而当滑雪板相对雪地速度较小时，与雪地接触时间超过某一值就会陷下去，使得它们间的摩擦力增大．假设滑雪者的速度超过8m/s时，滑雪板与雪地间的动摩擦因数就会由μ₁=0.5变为μ₂=0.25．一滑雪者从倾角θ=37°的坡顶A处由静止开始自由下滑，滑至坡底B（B处为一光滑小圆弧）后又滑上一段水平地面，最后停在C处，如图所示．不计空气阻力，已知坡长L=24m，取g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，求：
（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数恒为μ₃=0.4，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律可求得变化之前的加速度，根据速度公式即可求得所用的时间；
（2）对动摩擦因素发生变化后进行分析，根据牛顿第二定律求得加速度，再根据速度和位移关系即可求得到达B处的速度；
（3）对水平地面上的物体受力分析，根据牛顿第二定律求得加速度，再根据位移和速度关系即可求得最大距离．

解答 解：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化过程，由牛顿第二定律得：
mgsinθ-μ₁mgcosθ=ma₁ 
a₁=2m/s²
由速度公式可得：
从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间
t₁=$\frac{v}{a_1}$=4s                                             
（2）对滑动摩擦力因素发生变化后，由牛顿第二定律可知：
mgsinθ-μ₂mgcosθ=ma₂                                  
解得：a₂=4m/s²
由位移公式可知：
滑动摩擦因数变化之间的位移为：
x₁=$\frac{1}{2}$a₁t₁²=$\frac{1}{2}×4×{2}^{2}$=8m；
则对变化后的过程分析，由速度和位移公式可知：
$v_B^2={v^2}+2{a_2}（L-{x_1}）$
代入数据解得：v_B=8$\sqrt{2}$m/s                                       
（3）物体在水平面上滑动时，由牛顿第二定律可知：
a₃=μ₃g=0.4×10=4m/s²
对减速过程，根据速度和位移公式可得：
水平地面上的减速位移：
x₃=$\frac{v_B^2}{{2{a_3}}}$=$\frac{（8\sqrt{2}）^{2}}{2×4}$=16m                                                      
答：（1）滑雪者从静止开始到动摩擦因数发生变化所经历的时间为4s；
（2）滑雪者到达B处时的速度大小为8$\sqrt{2}$m/s；
（3）若滑雪板与水平地面间的动摩擦因数恒为μ₃=0.4，求滑雪者在水平地面上运动的最大距离为16m．

点评 本题考查牛顿第二定律与运动学公式的综合应用，要注意明确各物理过程，正确进行受力分析，注意加速度在力和运动中的桥梁作用是解题的关键．