Question

17．如图所示，用内壁光滑的薄壁细圆管弯成的由半圆形APB（圆半径比细管的内径大得多）和直线BC组成的轨道固定在水平桌面上，已知APB部分的半径R=1.0m，BC段长L=1.5m．弹射装置将一个小球（可视为质点）以v₀=5m/s的水平初速度从A点弹入轨道，小球从C点离开轨道随即水平抛出，落地点D离开C的水平距离s=2.5m，不计空气阻力，g取10m/s²．求：
（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω和加速度a的大小；
（2）小球从A点运动到C点的时间t；
（3）小球落地时速度的大小和方向．

Answer 1

分析 （1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$，加速度a=ωv₀．根据牛顿第二定律求出圆管对小球的作用力大小；
（2）小球从A到B的时间t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$，从B到C做匀速直线运动，时间为${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$．
（3）根据动能定理求出小球将要落到地面上D点时的速度大小．

解答 解：（1）小球在半圆形APB管内做匀速圆周运动时，角速度为：
ω=$\frac{{v}_{0}}{R}$=$\frac{5}{1}rad/s=5rad/s$，
加速度为：a=ωv₀=5×5m/s²=25m/s²．
根据牛顿第二定律得，圆管对小球的作用力大小F=ma=25N．
（2）小球从A到B的时间为：t₁=$\frac{πR}{{v}_{0}}$=$\frac{3.14×1}{5}s═0.628s$，
从B到C做匀速直线运动，时间为：${t}_{2}=\frac{L}{{v}_{0}}$=$\frac{1.5}{5}s=0.3s$
故小球从A点运动到C点的时间为：t=t₁+t₂=0.928s；
（3）对于平抛运动过程，根据动能定理得：
mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得：v=5$\sqrt{2}$m/s；
由cosθ=$\frac{5}{5\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$可知，夹角为45°；
答：（1）小球在半圆轨道上运动时的角速度ω是5rad/s，向心加速度a的大小为25m/s²．圆管对小球的作用力大小是25N；
（2）小球从A点运动到C点的时间t是0.928s；
（3）小球将要落到地面上D点时的速度大小是5$\sqrt{2}$m/s，方向与水平方向成45°．

点评 本题是匀速圆周运动、匀速直线运动和平抛运动的组合，记住匀速圆周运动的角速度、加速度等等公式，就可以轻松解答．