Question

12．美国航天局计划2030的把宇航员送上火星，若宇航员到达火星以后，在火星表面上以初速度v₀竖直向上抛出一小球，测得经过时间t小球落回火星表面，速度大小仍为v₀，若将火星视为密度均匀，半径为R的球体，引力常量为G，则火星的密度为（　　）

• A． $\frac{3{v}_{0}}{2GπRt}$
• B． $\frac{2{v}_{0}}{3GπRt}$
• C． $\frac{3{v}_{0}}{4GπRt}$
• D． $\frac{4{v}_{0}}{3GπRt}$

Answer 1

分析 小球在月球表面做竖直上抛运动，由速度时间公式求出月球表面的重力加速度；
忽略球体自转的影响，万有引力和重力相等求解中心天体的质量，再根据ρ=MV求解天体密度．

解答 解：小球竖直上抛后做匀变速直线运动，取竖直向上为正方向，根据运动学规律有：
-v₀-v₀=gt；
解得：g=$\frac{{2v}_{0}}{t}$
设某星球的质量为M，忽略星体和地球的自转，表面的物体受到的万有引力等于重力，有：$\frac{GMm}{{R}^{2}}$=mg
解得：M=$\frac{{gR}^{2}}{G}$
该星球的密度为：ρ=$\frac{M}{\frac{4{πR}^{3}}{3}}$=$\frac{{3v}_{0}}{2GπRt}$；
故选：A．

点评 解决本题的关键掌握万有引力等于重力这一重要理论，并能灵活运用，该理论运用比较广泛，所以将GM=gR²称为“黄金代换式”．