Question

8．一台质谱仪的工作原理如图所示．大量的甲、乙两种离子飘入电压力为U₀的加速电场，其初速度几乎为0，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上．已知甲、乙两种离子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种离子的运动轨迹．不考虑离子间的相互作用．
（1）求甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；
（3）若考虑加速电压有波动，在（U₀-△U）到（U₀+△U）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件．

Answer 1

分析 （1）从M进入磁场的粒子打在底片上的位置到N点距离最小，由动能定理求出粒子进入磁场的速度，根据洛伦兹力提供向心力求出轨道半径，由几何关系即可求解甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x；
（2）就是将一个虚线半圆平移到另一个虚线半圆，最窄处位于过两虚线交点的垂线上，把两个虚线圆心找到，并连接两圆的最高点，两个圆的最高点的距离为L，根据几何关系求解，
（3）从M点射进磁场的最慢甲种离子到底片的距离比从N点射入得最快的乙种到达底片的距离要大L，两轨迹的直径相差为L，列式即可求解；

解答 解：（1）设甲种离子在磁场中的运动半径为r₁
电场加速$q{U}_{0}^{\;}=\frac{1}{2}×2m{v}_{\;}^{2}$  且$qvB=2m\frac{{v}_{\;}^{2}}{{r}_{1}^{\;}}$  
解得${r}_{1}^{\;}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}$
根据几何关系x=2r1-L  
解得$x=\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-L$
（2）（见图） 最窄处位于过两虚线交点的垂线上
$d={r}_{1}^{\;}-\sqrt{{r}_{1}^{2}-（\frac{L}{2}）_{\;}^{2}}$
解得 $d=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-\sqrt{\frac{4m{U}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}-\frac{{L}_{\;}^{2}}{4}}$

（3）设乙种离子在磁场中的运动半径为${r}_{2}^{\;}$
${r}_{1}^{\;}$的最小半径
${r}_{1min}^{\;}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m（{U}_{0}^{\;}-△U）}{q}}$
${r}_{2}^{\;}$ 的最大半径${r}_{2max}^{\;}=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2m（{U}_{0}^{\;}+△U）}{q}}$
由题意知 $2{r}_{1min}^{\;}-2{r}_{2max}^{\;}＞L$，即$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m（{U}_{0}^{\;}-△U）}{q}}$-$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2m（{U}_{0}^{\;}+△U）}{q}}$＞L
解得L＜$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{m}{q}}$[2$\sqrt{（{U}_{0}^{\;}-△U）}$-$\sqrt{2（{U}_{0}^{\;}+△U）}$]
答：（1）甲种离子打在底片上的位置到N点的最小距离x为$\frac{4}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-L$；
（2）在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种离子经过的区域如上图所示，该区域最窄处的宽度d为$\frac{2}{B}\sqrt{\frac{m{U}_{0}^{\;}}{q}}-\sqrt{\frac{4m{U}_{0}^{\;}}{q{B}_{\;}^{2}}-\frac{{L}_{\;}^{2}}{4}}$；
（3）若考虑加速电压有波动，在（U₀-△U）到（U₀+△U）之间变化，要使甲、乙两种离子在底片上没有重叠，狭缝宽度L满足的条件L＜$\frac{2}{B}$$\sqrt{\frac{m}{q}}$[2$\sqrt{（{U}_{0}^{\;}-△U）}$-$\sqrt{2（{U}_{0}^{\;}+△U）}$]

点评 考查动能定理与牛顿第二定律的应用，确定运动半径与电压的关系，这是解题的关键之处，同时注意理解：甲、乙两种离子打在照相底片上的区域不重叠的含义．