如图所示.水平桌面上有一轻弹簧.左端固定在A点.弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP.其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧.MN为其竖直直径.P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m1=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点.释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料.质量为m2=0.2kg的物块将弹簧也� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

如图所示，水平桌面上有一轻弹簧，左端固定在A点，弹簧处于自然状态时其右端位于B点．水平桌面右侧有一竖直放置的光滑轨道MNP，其形状为半径R=0.8m的圆环剪去了左上角135°的圆弧，MN为其竖直直径，P点到桌面的竖直距离也是R．用质量m₁=0.4kg的物块将弹簧缓慢压缩到C点，释放后弹簧恢复原长时物块恰停止在B点．用同种材料、质量为m₂=0.2kg的物块将弹簧也缓慢压缩到C点释放，物块过B点后其位移与时间的关系为x=8t-2t²，物块从桌面右边缘D点飞离桌面后，由P点沿圆轨道切线落入圆轨道．g=10m/s²，求：
（1）BP间的水平距离；
（2）判断m₂能否沿圆轨道到达M点；
（3）释放后m₂在水平桌面上运动过程中克服摩擦力做的功．

分析：（1）物块由D点做平抛运动，根据平抛运动的基本公式求出到达D点的速度，根据物块过B点后其位移与时间的关系得出初速度和加速度，进而根据位移-速度公式求出位移；
（2）物块在内轨道做圆周运动，在最高点有临界速度，则mg=m

vM2

，根据机械能守恒定律，求出M点的速度，与临界速度进行比较，判断其能否沿圆轨道到达M点．
（3）由能量转化及守恒定律即可求出m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功．

解答：解：（1）设物块由D点以v_D做平抛，
落到P点时其竖直速度为：v_y=

2gR

根据几何关系有：

=tan45°
解得：v_D=4m/s
设平抛运动时间为t，水平位移为x₁，根据平抛运动规律：R=

gt²，x₁=v_Dt
解的：x₁=1.6m
由题意可知过B点后初速度为v₀=8m/s，加速度大小a=4m/s²，减速到v_D
BD间位移为x₂，有v₀²-v_D²=2ax₂，得：x₂=6m
所以BP间水平距离为x=x₁+x₂=1.6+6=7.6m
（2）设物块到达M点的临界速度为v_M，有：

m2vM2=

m₂v_D²-

m₂gR
解的：v_M=

16-8

＜

所以物块不能到达M点．
（3）设弹簧长为AC时的弹性势能为E_P，物块与桌面间的动摩擦因数为μ，
释放m₁时，E_P=μm₁gs_CB
释放m₂时，E_P=μm₂gs_CB+

m₂v₀²
且m₁=2m₂，
可得：E_p=7.2Jm₂释放后在桌面上运动过程中克服摩擦力做功为W_f，
则由能量转化及守恒定律得可得W_f=E_P-

m₂v_D²=5.6J
答：（1）BD间的水平距离为7.6m；
（2）m₂不能否沿圆轨道到达M点；
（3）m₂释放后在桌面上运动的过程中克服摩擦力做的功为5.6J．

点评：该题涉及到多个运动过程，主要考查了机械能守恒定律、平抛运动基本公式、圆周运动向心力公式的应用，用到的知识点及公式较多，难度较大，属于难题．

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