Question

如图甲所示，建立Oxy坐标系，两平行极板P、Q垂直于y轴且关于x轴对称，极板长度和板间距均为l，第一、四象限有磁场，方向垂直于Oxy平面向里。位于极板左侧的粒子源沿x轴向右接连发射质量为m、电荷量为+q、速度相同、重力不计的带电粒子，在0-3t₀时间内两板间加上如图乙所示的电压（不考虑极板边缘的影响）。已知t=0时刻进入两板间的带电粒子恰好在t₀时刻经极板边缘射入磁场，上述m、q、l、t₀、B为已知量。（不考虑粒子间相互影响及返回板间的情况）
（1）求电压U₀的大小；
（2）求1/2t₀时刻进入两板间的带电粒子在磁场中做圆周运动的半径；
（3）何时进入两板间的带电粒子在磁场中的运动时间最短？求此最短时间。

Answer 1

解：（1）t=0时刻进入两极板的带电粒子在电场中做匀变速曲线运动，t₀时刻刚好从极板边缘射出，在y轴负方向偏移的距离为1/2l，则有
  ①
Eq=ma  ②
  ③
联立以上三式，解得两极板间偏转电压为  ④
（2）1/2t₀时刻进入两极板的带电粒子，前1/2t₀时间在电场中偏转，后1/2t₀时间两极板没有电场，带电粒子做匀速直线运动
带电粒子沿x轴方向的分速度大小为  ⑤
带电粒子离开电场时沿y轴负方向的分速度大小为  ⑥
带电粒子离开电场时的速度大小为  ⑦
设带电粒子离开电场进入磁场做匀速圆周运动的半径为R，则有  ⑧
联立③④⑤⑧⑦⑧式解得  ⑨
（3）2t₀时刻进入两极板的带电粒子在磁场中运动时间最短，带电粒子离开磁场时沿y轴正方向的分速度为v_y'=at₀ ⑩
设带电粒子离开电场时速度方向与y轴正方向的夹角为α，则 
联立③⑤⑩式解得α=π/4
带电粒子在磁场运动的轨迹图如图所示，圆弧所对的圆心角为2α=π/2
所求最短时间为t_min=1/4T
带电粒子在磁场中运动的周期为T=
联立以上两式解得