Question

12．银河系中的星系多为只有一颗或两颗恒星的单星系或双星系，具有三颗以上恒星的星系被称为聚星系，近年来，也有聚星系陆续被观测到．聚星系的动力学问题很复杂，现在，我们假设有一种较简单的三星系统，三颗恒星质量相等，处在一个正三角形的三个顶点上，它们仅在彼此的引力作用下绕着正三角形的中心做匀速圆周运动，周期为T，已知它们之间的距离为r，它们自身的大小与它们之间的距离相比可以忽略．万有引力常量为G，则可以推知每颗恒星的质量为（　　）

• A． $\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$
• B． $\frac{{4{π^2}{r^3}}}{{3G{T^2}}}$
• C． $\frac{{4\sqrt{3}{π^2}{r^3}}}{{3G{T^2}}}$
• D． $\frac{{2{π^2}{r^3}}}{{G{T^2}}}$

Answer 1

分析 每颗恒星都在另外两颗恒星引力的合力作用下做匀速圆周运动，根据力的合成与牛顿第二定律分析求解．

解答 解：如图可知恒星的距离为r，它们圆周运动的半径R=$\frac{\sqrt{3}}{3}r$，每颗恒星在另外两颗恒星引力的合力作用下做匀速圆周运动有：
$2G\frac{MM}{{r}^{2}}cos30°=MR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得M=$\frac{4{π}^{2}{r}^{3}}{3G{T}^{2}}$
故选：B．

点评 解决本题主要抓住每颗恒星在另外两颗恒星万有引力的合力作用下做匀速圆周运动，掌握半径的几何关系和力的合成规律是正确解题的基础．