Question

7．一平直木板C静止在光滑的水平面上，今有两小物块A和B分别以2v₀和v₀的初速度沿同一直线从长木板C两端相向水平地滑上长木板，如图所示．设物块A、B与长木板C间的动摩擦因数为μ，A、B、C三者质量相等．
（1）若A、B两物块不发生碰撞，则由开始滑上C到A、B都静止在C上为止，B通过的总路程为多少？
（2）为使A、B两物块不发生碰撞，长木板C至少多长？

Answer 1

分析 （1）A、B刚滑上C时，所受的滑动摩擦力的方向与相对运动的方向相反，根据滑动摩擦力公式求摩擦力大小，再根据牛顿第二定律求加速度；
A、B 刚滑上C时都做匀减速运动，由速度时间公式求出B速度减为零所用时间，再对A，运用速度公式求解A的速度大小；
分段研究本题：第一阶段：B匀减速到速度为零的过程；第二阶段：B速度减为零时此时，A继续做减速运动，B、C相对静止一起在A的摩擦力作用下做加速运动，直到A、B、C相对静止．由牛顿第二定律、运动学公式及物体间速度关系、位移关系求解．
（2）系统在水平方向不受外力的作用，根据动量守恒定律先求出最终的共同速度，再结合功能关系即可求出．

解答 解：（1）设A、B、C的加速度分别为a_A、a_B、a_C，由牛顿第二定律可知：
   a_A=$\frac{μmg}{m}$=μg
   a_B=$\frac{μmg}{m}$=μg
   a_C=$\frac{μmg-μmg}{m}$=0                              
A、B 刚滑上C时都做匀减速运动，C静止不动，设经t₁时间B速度减为零，对B由运动学公式有：
   v₀=a_Bt₁
解得：t₁=$\frac{{v}_{0}}{μg}$                                        
设经t₁时间后A的速度为v_A，对A由运动学公式有：
 v_A=2v₀-a_At₁                                       
解得：v_A=v₀                                                                                    
设B在t₁时间内的位移为x₁，由运动学公式有：
-2a_Bx₁=0-${v}_{0}^{2}$
解得：x₁=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2μg}$                                         
此时，A继续做减速运动，B、C相对静止一起在A的摩擦力作用下做加速运动，直到A、B、C相对静止．设此阶段B、C的加速度为a_BC，由牛顿第二定律有：
  a_BC=$\frac{μmg}{2m}$=$\frac{1}{2}μ$g                                               
设A、B、C经t₂时间共速，B、C的位移为x₂，由运动学公式有：
  2v₀-a_At₂=a_BCt₂
  x₂=$\frac{1}{2}{a}_{BC}{t}_{2}^{2}$                                    
解得：t₂=$\frac{2{v}_{0}}{3μg}$，x₂=$\frac{{v}_{0}^{2}}{9μg}$
综上，总时间：t=t₁+t₂=$\frac{5{v}_{0}}{3μg}$                       
B通过的总路程为：x=x₁+x₂=$\frac{11{v}_{0}^{2}}{18μg}$ 
（2）选择向右为正方向，由于水平方向三个物体组成的系统动量守恒，则：
m•2v₀-mv₀=3mv
所以：v=$\frac{1}{3}{v}_{0}$
在运动的过程中，系统减小的机械能转化为动能，为使A、B两物块不发生碰撞，即A与B的位移大小的和恰好等于长木板C的长度．由于A与C、B与C之间的摩擦力都是：
f=μmg
则：$μmg•L=\frac{1}{2}m（2{v}_{0}）^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}-\frac{1}{2}•3m•{v}^{2}$
联立得：$L=\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$
答：（1）若A、B两物块不发生碰撞，则由开始滑上C到A、B都静止在C上为止，B通过的总路程为$\frac{11{v}_{0}^{2}}{18μg}$；
（2）为使A、B两物块不发生碰撞，长木板C至少长$\frac{{v}_{0}^{2}}{μg}$．

点评 此题涉及三个物体多过程的动力学问题，除了隔离研究三个物体的运动情况外，关键是找出物体之间的速度关系、位移关系．