Question

1．如图所示，空间某平面内有一条折线是磁场的分界线，在折线的两侧分布着方向相反、与平面垂直的匀强磁场，且折线上方的磁感应强度大小是下方磁场的2倍，已知折线下方的磁场是B．折线的顶角∠A=90°，P、Q是折线上的两点，AP=AQ=L．现有一质量为m、电荷量为q的带负电微粒从P点沿PQ方向射出，不计微粒的重力．
（1）为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，求初速度v应该满足什么条件；
（2）满足上述条件中的微粒从P点到Q点所用时间．

Answer 1

分析 （1）为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，画出可能的轨迹，由几何知识分析得出AP与轨迹对应的弦长关系，得到半径与L的关系通项，由洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律即可求出速度．
（2）求出微粒从P到Q过程中圆心角的总和θ，由t=$\frac{θ}{2π}$T求出时间的通项．

解答 解：（1）如图所示，画出粒子运动的轨迹，根据运动的对称性，微粒能从P点到达Q点，应满足：L=nx
其中x为每次偏转圆弧对应的弦长，由于AP=AQ=L，角∠A=90°则知，偏转圆弧对应的圆心角为$\frac{π}{2}$或$\frac{3}{2}$π．
设圆弧的半径为R，则有2R²=x²，可得：R=$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}L}{n}$=$\frac{\sqrt{2}L}{2n}$…①
又：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$…②
由①②式得：v=$\frac{\sqrt{2}qBL}{2mn}$，n=1、2、3、…
（2）当n取奇数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为
θ₁=n•$\frac{π}{2}$+n•$\frac{3}{2}$π=2nπ，
则：t₁=2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n，其中n=1、3、5、…
当n取偶数时，微粒从P到Q过程中圆心角的总和为：
θ₂=n•$\frac{π}{2}$+n•$\frac{π}{2}$=nπ，
则：t₂=nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n，其中n=2、4、6、…
答：（1）撤去电场，为使微粒从P点射出后，途经折线的顶点A而到达Q点，初速度v应满足的条件是v=$\frac{\sqrt{2}qBL}{2mn}$，n=1、2、3、…．
（2）微粒从P点到达Q点所用时间为：2nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{2πm}{qB}$•n（其中n=1、3、5、…）或者nπ•$\frac{m}{qB}$=$\frac{πm}{qB}$•n（其中n=2、4、6、…）．

点评 本题中带电粒子在磁场中做周期性运动，关键是运用几何知识分析得到粒子运动半径与L的关系、圆心角的通项，是多解问题，得到的是半径通项，不是特殊值，不能漏解．