Question

9．水平绝缘地面上固定一带电体P，另一个质量为m的带电小球Q在其正上方做往复直线运动．已知P、Q之间的最大距离为H，最小距离为$\frac{H}{4}$．带电小球Q所受电场力F=k$\frac{1}{{h}^{2}}$，取无穷远处电势为零，带电小球Q所具有的电势能E=k$\frac{1}{h}$，其中h为P、Q之间距离，k为大于零的未知常量，重力加速度为g．则在带电小球Q运动过程中（　　）

• A． P、Q不可能带有同种电荷
• B． 带电小球Q一定做简谐运动
• C． 带电小球Q具有的最大速度为$\sqrt{\frac{gH}{2}}$
• D． P、Q之间距离为$\frac{H}{3}$时，带电小球Q的速度最大

Answer 1

分析 根据小球的电势能即可判定两个小球的电性之间的关系；结合简谐振动的特点分析是否是简谐振动；结合功能关系分析小球的最大速度．

解答 解：A、由题可知，小球Q的电势能为正，则向无穷远运动的过程中，电场力一定做正功，所以两个小球之间的作用力为斥力，所以电性一定相同．故A错误；
B、带电小球受到的电场力：F=k$\frac{1}{{h}^{2}}$，重力为mg，所以合力不可能为：F=-kx的形式，所以小球的运动一定不是简谐运动．故B错误；
C、以小球P处为重力势能的零点，带电小球Q所具有的电势能E=k$\frac{1}{h}$，而重力势能为：E_P=mgh，小球从最高点到最低点的过程中：mg（H-$\frac{H}{4}$）=$\frac{k}{\frac{H}{4}}-\frac{k}{H}$ 
整理得：$\frac{mgH}{4}=\frac{k}{H}$   ①
系统的总能量：${E}_{总}=E+{E}_{P}=\frac{k}{H}+mgH$  ②
当小球的速度最大时，$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}+mgh+\frac{k}{h}=\frac{k}{H}+mgH$  ③
联立①③，结合二项式定理可知，当$mgh+\frac{k}{h}$有最小值时，速度最大，即当：$mgh=\frac{k}{h}=\frac{mg{H}^{2}}{4h}$时速度最大，则：$h=\frac{H}{2}$时速度最大，为：${v}_{m}=\sqrt{\frac{gH}{2}}$．故C正确，D错误；
故选：C

点评 该题将电势能、重力势能与动能通过带电小球的运动结合在一起，解答的关键是找出小球在运动过程中的能量之间的关系，正确判断出小球的速度最大对应的临界条件．