Question

如图所示，在边界AOB的上侧分布着方向垂直于纸面的匀强磁场，OE是磁场区域的对称轴．边界外有关于OE对称的C、D两点，现有两个比荷均为

q

m

的正离子同时从C点射出，分别通过M、N点同时进入磁场．已知经过M点的离子速度大小为v₀，CM垂直磁场边界于M，M与O点间的距离为d，若使两离子都能到达点D；
（1）求磁感应强度的大小和方向；
（2）设CM与CN间夹角为θ，求两离子先后到达D点的时间差△t；
（3）设CM长度为h，求边界AO与BO间的夹角α．

Answer 1

分析：（1）粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，根据几何知识确定轨迹半径，由牛顿第二定律求出磁感应强度的大小，由左手定则判断方向．
（2）根据几何知识确定出两个离子轨迹对应的圆心角θ，由公式t=

θ

2π

T求出它们的运动时间，即可求解时间差．
（3）两离子在磁场外运动时间相同，根据几何关系求解边界AO与BO间的夹角α．

解答：解：（1）设沿CM方向运动的离子在磁场中做圆周运动的轨道半径为R，则根据几何关系得：R=d
粒子进入磁场中做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有
  qv₀B=m

v 2 0

R

，得：B=

mv0

qd

．
由左手定则判断可知，磁场方向垂直纸面向外．
（2）时间差是在磁场中运动产生的，两离子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T=

2πm

Bq

=

2πd

v0

，
设AO、BO夹角为α，分别通过M、N两点的正离子在磁场中的时间分别为t_M、t_N，
根据粒子速度的偏向角等于轨迹对应的圆心角，可得：
 t_M=

α

2π

T=

α

2π

?

2πd

v0

=

αd

v0

 t_N=

α+2θ

2π

T=

α+2θ

2π

?

2πd

v0

=

(α+2θ)d

v0

两离子先后到达D点的时间差△t=t_N-t_M=

2dθ

v0

（3）设沿CN运动的离子速度大小为v，在磁场中的轨道半径为R′，两离子在磁场外运动时间相同，
即：vcosθ=v₀，R′=

mv

qB

=

d

cosθ

由几何关系得：MN=htanθ；
 

MN+d

sin( α 2 +θ)

=

R

sin α 2

解得：α=2arctan

d

h

答：（1）磁感应强度的大小为

mv0

qd

，磁场方向垂直纸面向外．（2）两离子先后到达D点的时间差△t为

2dθ

v0

；（3）边界AO与BO间的夹角α为2arctan

d

h

．

点评：本题画出粒子运动轨迹，由几何知识求出轨迹半径是关键；