Question

如图所示，线的上端固定，下端系一小球，将小球与线拉到水平位置后从静止开始释放，求小球的摆线运动到与水平方向成多大角度时，球获得最大的竖直分速度？（反三角函数表示）

Answer 1

分析：设小球下摆动θ角时，竖直分速度大小为v_竖．小球下摆动过程，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒和速度分解，得到v_竖与θ的关系式，再运用数学知识求最大值．或根据机械能守恒定律和向心力结合求解．

解答：解：解法一：设小球下摆动θ角，只有重力做功机械能守恒 mglsinθ=

1

2

mv2
则竖直方向的速度为 v竖=vcosθ=

2glsinθ

?cosθ
由于2sin2θ+cos2θ+cos2θ≥3

3	2sin2θcos4θ

当    2sin²θ=cos²θ时 2sin²θcos⁴θ最大
所以   tan2θ=

1

2

，即θ=arctan

2

2

小球竖直方向最大速度为

2

3

gl 3

解法二：设小球下摆动θ角，只有重力做功机械能守恒：mglsinθ=

1

2

mv2…①
小球做圆周运动满足：T-mgsinθ=m

v2

L

…②
要使竖直方向速度最大则有：Tsinθ=mg…③
由①、②、③得：sin2θ=

1

3

小球竖直方向最大速度为v竖=vcosθ=

2glsinθ

?cosθ=

2

3

gl 3

．
答：小球的摆线运动到与水平方向成arctan

2

2

角度时，球获得最大的竖直分速度为

2

3

gl 3

．

点评：本题考查运用数学知识分析和处理物理问题的能力，采用是函数法求解即可．