Question

7．如图所示，光滑绝缘水平桌面上放置一个U型框架aebcfd，框架两侧是对称的、足够长的轻质柔软导线，不计导线电阻，bc部分是质量为m、电阻为R、长为L的导体棒，自然悬垂在桌面的左侧．桌面上固定两个立柱，在立柱右侧的软导线上放置一根电阻为R、质量为m的金属棒MN，MN与软导线之间的动摩擦因数为μ，整个装置处于水平向左、磁感应强度为B的匀强磁场中．现将导体棒bc由静止释放，bc带动软导线一起运动，两侧软导线之间的距离保持为L不变，MNfe为矩形，各部分接触良好，不计空气阻力．
（1）判断金属棒MN中感应电流的方向；
（2）求bc棒释放瞬间的加速度大小；
（3）求bc棒所能达到的最大速度；
（4）由静止开始释放bc后的某过程中，已知MN产生的焦耳热为Q，框架克服摩擦力做功为W，求该过程中bc棒动能的增加量．

Answer 1

分析 （1）利用右手定则判断金属棒MN中感应电流的方向；
（2）释放瞬间，不受安培力作用，整个框架只受重力和摩擦力，利用牛顿第二定律列式，求出bc棒释放瞬间的加速度大小；
（3）当框架整体所受合力为0时，bc速度最大，根据平衡条件列式，求出bc棒所能达到的最大速度；
（4）采用微元法计算出bc下落的距离，再由动能定理求出该过程中bc棒动能的增加量．

解答 解：（1）根据右手定则可知，金属棒MN中感应电流的方向从M流向N；
（2）释放bc棒的瞬间，棒中感应电流为0，不受安培力作用
整个框架由牛顿第二定律有mg-μmg=ma
解得：a=（1-μ）g；
（3）当框架整体所受合力为0时，bc速度最大，由平衡条件有
mg-BIL-μ（mg+BIL）=0
即mg-$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}$-μ（mg+$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{2R}$）=0
解得v_m=$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）任意瞬间，摩擦力f=μ（mg+F_A），在bc下落极小位移△h的过程中
克服摩擦力做功△W=f•△h=μmg•△h+μF_A•△h
bc下落h的过程中，克服安培力做功W_A=∑（F_A•△h）=2Q
因此W=∑△W=μmgh+2Q
解得h=$\frac{W-2μQ}{μmg}$
由动能定理有
mgh+（-W）+W_A=△E_k
解得△E_k=$（\frac{1}{μ}-1）W-4Q$．
答：（1）金属棒MN中感应电流的方向从M流向N；
（2）bc棒释放瞬间的加速度大小为（1-μ）g；
（3）bc棒所能达到的最大速度为$\frac{2（1-μ）mgR}{（1+μ）{B}^{2}{L}^{2}}$；
（4）由静止开始释放bc后的某过程中，已知MN产生的焦耳热为Q，框架克服摩擦力做功为W，该过程中bc棒动能的增加量为得$（\frac{1}{μ}-1）W-4Q$．

点评 本题考查了电磁感应、安培力、牛顿第二定律和动能定理，综合性强，难度较大，解题的关键是对框架进行受力分析，找出受到哪些力，寻找条件结合牛顿第二定律和动能定理进行列式求解．