Question

12．如图所示放在水平面上的小车上表面水平，AB是半径为R的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道，下端B的切线水平且与平板车上表面平齐，车的质量为M．现有一质量为m的小滑块，从轨道上端A处无初速释放，滑到B端后，再滑到平板车上．若车固定不动，小滑块恰不能从车上掉下．（重力加速度为g）：
（1）求滑块到达B端之前瞬间所受支持力的大小；
（2）求滑块在车上滑动的过程中，克服摩擦力做的功；
（3）若车不固定，且地面光滑，把滑块从A点正上方的P点无初速释放，P点到A点的高度为h，滑块从A点进入轨道，最后恰停在车的中点．求车的长度．（滑块与小车的摩擦因数为μ）

Answer 1

分析 （1）根据动能定理求出到达B点的速度，结合牛顿第二定律求出支持力的大小，从而得出压力的大小．
（2）对滑上小车的过程，根据动能定理求出克服摩擦力做功的大小．
（3）根据动能定理求出滑块到达最低点的速度，结合动量守恒求出滑块和小车的共同速度，根据能量守恒定律求出车的长度．

解答 解：（1）根据动能定理得：
$mgR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${v}_{B}=\sqrt{2gR}$，
根据牛顿第二定律得：$N-mg=m\frac{{{v}_{B}}^{2}}{R}$，
解得：N=3mg．
（2）根据动能定理得：$-{W}_{f}=0-\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$，
解得：${W}_{f}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgR$．
（3）根据动能定理得：$mg（h+R）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，
解得：v=$\sqrt{2g（h+R）}$，
物块与小车组成的系统动量守恒，规定物块的速度方向为正方向，根据动量守恒定律得：mv=（M+m）v′，
解得：$v′=\frac{mv}{M+m}$，
根据能量守恒得：$μmg\frac{L}{2}=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}（M+m）v{′}^{2}$，
解得：L=$\frac{2M（h+R）}{μ（M+m）}$．
答：（1）滑块到达B端之前瞬间所受支持力的大小为3mg；
（2）克服摩擦力做的功为mgR；
（3）车的长度为$\frac{2M（h+R）}{μ（M+m）}$．

点评 本题考查了动能定理、动量守恒定律、能量守恒定律的综合运用，综合性较强，对学生的能力要求较高，对于第三问，也可以根据动力学知识求解，但是没有运用动量和能量综合求解简捷．