Question

8．如图所示，一个边缘带有凹槽的金属圆环，沿其直径装有一根长2L的金属杆AC，可绕通过圆环中心的水平轴O转动．将一根质量不计的足够长细绳一端固定于槽内并将绳绕于圆环槽内，绳子的另一端悬挂了一个质量为m的物体．圆环的一半处在磁感应强度为B，方向垂直环面向里的匀强磁场中．现将物体由静止释放，若金属圆环和金属杆单位长度的电阻均为R．忽略所有摩擦和空气阻力．
（1）设某一时刻圆环转动的角速度为ω₀，且OA边在磁场中，请求出此时金属杆OA产生电动势的大小；
（2）请求出物体在下落中可达到的最大速度；
（3）当物体下落达到最大速度后，金属杆OC段刚要进入磁场时，杆的A、O两端之间电压多大？

Answer 1

分析 （1）已知金属杆转动的角速度，根据：$E=\overline{v}BL$求出金属杆切割测磁感线产生的感应电动势；
（2）根据欧姆定律求出金属杆中的电流，根据安培力的公式求得金属杆受到的安培力，最后求出物体下落的最大速度；
（3）根据串联电路的分压特点即可求出CO两端的电压．

解答 解：（1）已知金属杆转动的角速度，OA产生的电动势：$E=BL•\frac{{ω}_{0}L}{2}=\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$
（2）等效电路如图所示，两个半圆部分的电阻并联后与另一半半径上的电阻串联，
${R}_{外1}=\frac{πLR}{2}$
R_外2=LR
r=LR

当达到最大速度时，重物的重力的功率等于电路中消耗的电功率：
$mgv=\frac{{E}^{2}}{{R}_{总}}=\frac{{E}^{2}}{{R}_{外1}+{R}_{外2}+r}$
其中：v=ω₀L
联立以上公式，解得：$v=\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$
（3）当物体下落达到最大速度后，杆受到的安培力的力矩与物体的力矩相等，得：
$BIL•\frac{L}{2}=mg•L$
所以OA上的电流大小为：$I=\frac{2mg}{BL}$
当OC段在磁场中时，
${U}_{AO}=\frac{2mg}{BL}（\frac{πLR}{2}+LR）=\frac{2mgR}{B}（1+\frac{π}{2}）$
答：（1）设某一时刻圆环转动的角速度为ω₀，且OA边在磁场中，此时金属杆OA产生电动势的大小是$\frac{1}{2}B{L}^{2}{ω}_{0}$．
（2）物体在下落中可达到的最大速度$v=\frac{2mgR（4+π）}{{B}^{2}L}$．
（3）当物体下落达到最大速度后，金属杆OC段进入磁场时，杆A、O两端电压是$\frac{2mgR}{B}（1+\frac{π}{2}）$．

点评 本题考查了求安培力的功率、产生的内能，求出感应电动势、安培力、应用能量守恒定律即可正确解题．