Question

12．在太阳系之外，科学家发现了一颗适宜人类居住的类地行星，绕恒星橙矮星运行，命名为“开普勒438b”．假设该行星与地球均做匀速圆周运动，“开普勒438b”运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍． 则该行星轨道半径与地球的轨道半径之比为$\root{3}{{p}^{2}q}$，绕行线速度之比为$\root{3}{\frac{p}{q}}$．

Answer 1

分析 根据万有引力提供向心力得出周期、线速度与轨道半径的关系，从而分析求解．

解答 解：根据万有引力提供向心力得，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
解得$r=\root{3}{\frac{GM{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$，因为开普勒438b”运行的周期为地球运行周期的p倍，橙矮星的质量为太阳的q倍，则该行星轨道半径与地球的轨道半径之比为$\root{3}{{p}^{2}q}$．
线速度v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，因为橙矮星的质量为太阳的q倍，该行星轨道半径与地球的轨道半径之比为$\root{3}{{p}^{2}q}$，则线速度之比为$\root{3}{\frac{p}{q}}$．
故答案为：$\root{3}{{{p^2}q}}$，$\root{3}{{\frac{p}{q}}}$；

点评 解决本题的关键掌握万有引力提供向心力这一重要理论，知道线速度、周期与轨道半径的关系，并能灵活运用．