Question

10．在光滑绝缘的水平桌面上有三个质量均为m的小球A、D、C，其中只有A球带有电荷，带电荷量为+q，其余两球均不带电．这三个小球的初始位置如图所示，即A与D、D与C之间的距离均为L，A与C间的距离为$\sqrt{3}$L，已知水平桌面上存在竖直向下的匀强磁场，磁感应强度大小为B．现给A球一个水平面内的初速度，使其在磁场中运动，其经过时间t₁与D球发生碰撞，碰撞后结合在一起继续在水平桌面上做匀速圆周运动．又经过时间t₂与C球发生碰撞，碰撞后三个小球结合在一起继续在水平桌面内做匀速圆周运动，又经过时间t₃，三球恰好第一次经过A球运动的初始位置，不计小球之间碰撞的时间，下列判断正确的是（　　）

• A． A球的初速度v₀=$\frac{BqL}{m}$，方向与AD边成30°角
• B． A球的初速度v₀=$\frac{\sqrt{3}BqL}{2m}$，方向与AC边垂直
• C． t₁=t₂
• D． t₁+t₂=$\frac{{t}_{3}}{4}$

Answer 1

分析 由几何关系求得半径，进而得到初速度方向，然后根据洛伦兹力做向心力求得初速度大小，及圆周运动周期，再根据每段圆弧对应的中心角，即可求得运动时间．

解答 解：AB、小球在洛伦兹力下做圆周运动，洛伦兹力做向心力，$Bv′q=\frac{m′{v′}^{2}}{R}$，所以，$R=\frac{m′v′}{qB}$；
碰撞前后，小球动能、电荷量都不变，故半径不变，那么由小球经过ADC，可知半径R=L；
所以，A球的初速度${v}_{0}=\frac{BqR}{m}=\frac{BqL}{m}$，方向与AD边成30°角；故A正确，B错误；
CD、小球从A到D转过中心角60°，从D到C转过中心角60°，从C到A转过中心角240°；
又有小球做圆周运动的周期$T=\frac{2πR}{v′}=\frac{2πL}{v′}$，所以，由动量守恒定理可知，v_AD：v_DC：v_CA=6：3：2，所以T_AD：T_DC：T_CA=1：2：3；
所以，${t}_{1}：{t}_{2}：{t}_{3}=\frac{1}{6}{T}_{AD}：\frac{1}{6}{T}_{DC}：\frac{2}{3}{T}_{CA}=1：2：12$，故C错误，D正确；
故选：AD．

点评 带电粒子在磁场中运动，一般根据洛伦兹力做向心力求得半径的表达式，然后由几何关系求得半径即可求得相关物理量．