Question

(2011·厦门模拟)(18分)如图所示，质量为m，电荷量为e的电子从坐标原点O处沿xOy平面射入第一象限内，射入时的速度方向不同，但大小均为v₀.现在某一区域内加一方向向外且垂直于xOy平面的匀强磁场，磁感应强度大小为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直地射到与y轴平行的荧光屏MN上，求：

(1)电子从y轴穿过的范围；
(2)荧光屏上光斑的长度；
(3)所加磁场范围的最小面积.

Answer 1

(1) (2)(3)

(1)设粒子在磁场中运动的半径为R，由牛顿第二定律得： (2分)
电子从y轴穿过的范围 (2分)
(2)如图所示，初速度沿x轴正方向的电子沿弧OA运动到荧光屏MN上的P点，     (1分)
初速度沿y轴正方向的电子沿弧OC运动到荧光屏MN上的Q点(1分)
由几何知识可得 (2分)
(3)取与x轴正方向成θ角的方向射入的电子为研究对象，其射出磁场的点为E(x,y)，因其射出后能垂直打到荧光屏MN上，故有：
x=-Rsinθ          (2分)
y=R+Rcosθ                        (2分)
即x²+(y-R)²=R²                               (2分)

又因为电子沿x轴正方向射入时，射出的边界点为A点；沿y轴正方向射入时，射出的边界点为C点，故所加最小面积的磁场的边界是以(0，R)为圆心、R为半径的圆的一部分，如图中实线圆弧所围区域，所以磁场范围的最小面积为： (4分)